Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙M外接于矩形OABC，AB=12，BC=16，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上．
（1）寫出點(diǎn)A、B、C及M的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)C作⊙M的切線交x軸于點(diǎn)P，求直線PC的解析式；
（3）如果E為PC上一動(dòng)點(diǎn)（運(yùn)動(dòng)時(shí)不與P、C重合），過點(diǎn)E作直線EF交PA于點(diǎn)F．
①直線EF將四邊形PABC的周長平分，設(shè)E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，△PEF的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量t的取值范圍；
②是否存在直線EF將四邊形PABC的周長和面積同時(shí)平分？若能，請求出直線EF的解析式；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）矩形在坐標(biāo)軸上，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)可以寫出，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連接CM．直線PC與圓相切，CM與PC垂直，兩直線斜率之積為-1，求出PC的斜率，進(jìn)而求出直線PC的解析式；
（3）①作EN⊥x軸于N．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)表示出PE、EN的長，再根據(jù)四邊形的周長分成相等的兩部分表示PF的長，從而表示三角形的面積；
②只需求得四邊形的面積，令①中的解析式等于四邊形的面積的一半進(jìn)行分析求解．
解答：解：（1）A（16，0），B（16，12），C（0，12），M（8，6）．


（2）連接CM．
∵CM是圓半徑，PC是切線，
∴PC⊥CM，
K_PC×K_CM=-1，
解得K_PC=，
由點(diǎn)斜式寫出解析式為y=x+12．


（3）①作EN⊥x軸于N．
根據(jù)（2）中的直線解析式求得P（-9，0）．
則PC=15．
則四邊形ABCP的周長是15+9+16+16+12=68．
又點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是t，
則PE=t，
則PF=34-t，
則S=×t（34-t）=-+17t（7.2≤t≤16）．
②因?yàn)樗倪呅蜛BCP的面積=×（16+16+9）×12=246．
若把四邊形的面積等分，則S=123．
有-+17t=123，
此方程無實(shí)數(shù)根，
故不存在直線EF將四邊形PABC的周長和面積同時(shí)平分．
點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)以及三角形的面積公式．