Question

如圖，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AC交AB于點(diǎn)D．
（1）尺規(guī)作圖：過(guò)A，D，C三點(diǎn)作⊙O（只要求作出圖形，保留痕跡，不要求寫作法）；
（2）求證：BC是過(guò)A，D，C三點(diǎn)的圓的切線．

Answer 1

解：（1）作出圓心O，
以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓；

（2）證明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°．
∴AD是⊙O的直徑
連接OC，∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°，又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°．
∴BC⊥OC，
∴BC是⊙O的切線．
分析：（1）由已知得到△ACD是直角三角形，那么過(guò)A，D，C三點(diǎn)作⊙O，根據(jù)圓周角是直角所對(duì)的弦是直徑得，AD為⊙O的直徑，所以作AD的中點(diǎn)O即為圓心，再以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑即可作出⊙O．
（2）先連接OC，已知已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，能求出∠ACB=120°，在⊙O中OA=OC，得到，∠ACO=∠A=30°，
那么∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°，從而推出BC是過(guò)A，D，C三點(diǎn)的圓的切線．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和切線的判定及尺規(guī)作圖，關(guān)鍵是首先確定AD為直徑，再作圓．根據(jù)已知推出BC⊥OC．