如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形ABCD的三個頂點B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).拋物線y=ax2+bx過A、C兩點.
(1)直接寫出點A的坐標(biāo),并求出拋物線的解析式;
(2)動點P從點A出發(fā).沿線段AB向終點B運動,同時點Q從點C出發(fā),沿線段CD向終點D運動.速度均為每秒1個單位長度,運動時間為t秒.過點P作PE⊥AB交AC于點E.
①過點E作EF⊥AD于點F,交拋物線于點G.當(dāng)t為何值時,線段EG最長?
②連接EQ.在點P、Q運動的過程中,判斷有幾個時刻使得△CEQ是等腰三角形?請直接寫出相應(yīng)的t值.

【答案】分析:(1)由于四邊形ABCD為矩形,所以A點與D點縱坐標(biāo)相同,A點與B點橫坐標(biāo)相同;
(2)①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出點E的橫坐標(biāo)表達(dá)式即為點G的橫作標(biāo)表達(dá)式.代入二次函數(shù)解析式,求出縱標(biāo)表達(dá)式,將線段最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題解答.
②若構(gòu)成等腰三角形,則三條邊中有兩條邊相等即可,于是可分EQ=QC,EC=CQ,EQ=EC三種情況討論.若有兩種情況時間相同,則三邊長度相同,為等腰三角形.
解答:解:(1)因為點B的橫坐標(biāo)為4,點D的縱坐標(biāo)為8,AD∥x軸,AB∥y軸,所以點A的坐標(biāo)為(4,8).
將A(4,8)、C(8,0)兩點坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx得,
解得a=-,b=4.
故拋物線的解析式為:y=-x2+4x;

(2)①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE==,即=
∴PE=AP=t.PB=8-t.
∴點E的坐標(biāo)為(4+t,8-t).
∴點G的縱坐標(biāo)為:-(4+t)2+4(4+t)=-t2+8.
∴EG=-t2+8-(8-t)=-t2+t.
∵-<0,∴當(dāng)t=4時,線段EG最長為2.
②共有三個時刻.
(①)當(dāng)EQ=QC時,
因為Q(8,t),E(4+t,8-t),QC=t,
所以根據(jù)兩點間距離公式,得:
t-4)2+(8-2t)2=t2
整理得13t2-144t+320=0,
解得t=或t==8(此時E、C重合,不能構(gòu)成三角形,舍去).
(②)當(dāng)EC=CQ時,
因為E(4+t,8-t),C(8,0),QC=t,
所以根據(jù)兩點間距離公式,得:
(4+t-8)2+(8-t)2=t2
整理得t2-80t+320=0,t=40-16,t=40+16>8(此時Q不在矩形的邊上,舍去).
(③)當(dāng)EQ=EC時,
因為Q(8,t),E(4+t,8-t),C(8,0),
所以根據(jù)兩點間距離公式,得:(t-4)2+(8-2t)2=(4+t-8)2+(8-t)2
解得t=0(此時Q、C重合,不能構(gòu)成三角形,舍去)或t=
于是t1=,t2=,t3=40-16
點評:拋物線的求法是函數(shù)解析式中的一種,通常情況下用待定系數(shù)法,即先列方程組,再求未知系數(shù),這種方法本題比較適合.對于壓軸題中的動點問題、極值問題,先根據(jù)條件“以靜制動”,用未系數(shù)表示各自的坐標(biāo),如果能構(gòu)成二次函數(shù),即可通過配方或頂點坐標(biāo)公式求其極值.
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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點P為x軸上的一個動點,但是點P不與點0、點A重合.連接CP,D點是線段AB上一點,連接PD.
(1)求點B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標(biāo).

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(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個點,其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點坐標(biāo)為(4,0),D點坐標(biāo)為(0,3),則AC長為
5
5

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如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點,PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( 。

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動點P從點O出發(fā),在梯形OABC的邊上運動,路徑為O→A→B→C,到達(dá)點C時停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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