Question

如圖，在梯形ABCD中，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果直線AB上的點P使得以P、A、D為頂點的三角形與以P、B、C為頂點的三角形相似，那么這樣的點P有    個．

Answer 1

【答案】分析：分三種情況進行分析即可：①若點P在線段AB上；②若點P在線段BA的延長線上；③若點P在線段AB的延長線上．
解答：解：①若點P在線段AB上，

∵∠A=∠B=90°
∴當時，△PAD∽△PBC
∴，解得PA=x=；
當時，△PAD∽△CBP
∴，
∴x²-7x+6=0，
∴（x-6）（x-1）=0，
解得：PA=x=1或6；

②若點P在線段BA的延長線上，


∵∠PAD=∠B=90°
當PA：PB=AD：BC時，△PAD∽△PBC
∴，解得：PA=x=14；

當時，△PAD∽△CBP
∴，
∴x²+7x-6=0，
解得：PA=x=；

③

若點P在線段AB的延長線上，
∵∠A=∠CBP=90°
∴當AD：PB=PA：BC時，△PAD∽△CBP
∴，
∴x²-7x-6=0，
解得：PA=x=，
綜上，滿足題意的P有6種情況．
點評：此題考查了相似三角形的判定：
①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；
②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；
③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似．