Question

已知拋物線y=ax²-（a+c）x+c（其中a≠c且a≠0）．
（1）求此拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（用a，c的代數(shù)式表示）
（2）若經(jīng)過此拋物線頂點(diǎn)A的直線y=-x+k與此拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為B（，-c），求此拋物線的解析式；
（3）點(diǎn)P在（2）中x軸上方的拋物線上，直線y=-x+k與 y軸的交點(diǎn)為C，若tan∠POB=tan∠POC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）若（2）中的二次函數(shù)的自變量x在n≤x＜n+1（n為正整數(shù)）的范圍內(nèi)取值時(shí)，記它的整數(shù)函數(shù)值的個(gè)數(shù)為N，則N關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式為______．

Answer 1

解：（1）拋物線y=ax²-（a+c）x+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是關(guān)于x的方程ax²-（a+c）x+c=0（其中a≠0，a≠c）的解．
解得x₁=1，．
∴拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），

（2）拋物線y=ax²-（a+c）x+c的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為．
∵經(jīng)過此拋物線頂點(diǎn)A的直線y=-x+k與此拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，
∴
由③得c=0．
將其代入①、②得
解得a=-2．
∴所求拋物線的解析式為y=-2x²+2x．

（3）作PE⊥x軸于點(diǎn)E，PF⊥y軸于點(diǎn)F．（如圖）
拋物線y=-2x²+2x的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，
點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1）．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n）．
∵點(diǎn)P在x軸上方的拋物線y=-2x²+2x上，
∴n=-2m²+2m，且0＜m＜1，．
∴，．
∵，
∴m²=4n²．
解得m=2n，或m=-2n（舍去）．
將m=2n代入n=-2m²+2m，得8n²-3n=0．
解得，n₂=0（舍去）．
∴．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

（4）N關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式為N=4n．
說明：二次函數(shù)y=-2x²+2x的自變量x在n≤x＜n+1（n為正整數(shù)）的范圍內(nèi)取值，此時(shí)y隨x的增大而減小，
∴-2n²-2n＜y≤-2n²+2n，
其中的整數(shù)有-2n²-2n+1，-2n²-2n+2，-2n²+2n．N=（-2n²+2n）-（-2n²-2n）=4n．
分析：（1）利用二次函數(shù)與x軸相交y=0，即可解決．
（2）首先表示出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出．
（3）作PE⊥x軸于點(diǎn)E，PF⊥y軸于點(diǎn)F，利用三角函數(shù)關(guān)系解決．
（4）借助自變量的取值范圍，代入二次函數(shù)解析式，即可解決．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，以及二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的表示方法，二次函數(shù)解析式的求法等，綜合性比較強(qiáng)．