Question

已知：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在邊AB、對(duì)角線BD上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B都不重合）且AE=DF
（1）設(shè)DF=x，CF²=y，求：y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；
（2）求證：FC=FE；
（3）是否存在以線段AE、DF、CF的長(zhǎng)為邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知得出FG=DG=x，GC=1-x，在Rt△FCG中，利用CF²=CG²+FG²得出即可；
（2）延長(zhǎng)GF交AB于H，易證矩形AHGD，再利用SAS證明Rt△FCG≌Rt△EFH即可得出答案；
（3）分別討論①若CF為斜邊以及②若AE為斜邊得出答案即可．
解答：解：（1）過(guò)F作FG⊥DC于G，
則∠FGD=∠FGC=90°  
∵正方形ABCD中，BD是對(duì)角線，
∴∠BDG=45°，
∵∠FGD=90°，DF=x，
∴FG=DG=x，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，
∴GC=1-x，
在Rt△FCG中，
CF²=CG²+FG²=（1-x）²+（x）²=x²-x+1，
∴y=x²-x+1（0＜x＜）；
     
（2）延長(zhǎng)GF交AB于H，
∵∠A=∠ADG=∠DGH=90°，
∴矩形AHGD，
∴AH=DG=x，
∵AE=x，
∴HE=x，
∴GF=HE，
CG=FH，
∵∠CGF=∠FHE=90°，
∴Rt△FCG≌Rt△EFH（SAS），
∴FC=FE，

（3）∵AE=DF，
∴DF＜AE，
∴若存在以AE、DF、CF的長(zhǎng)為邊的直角三角形，則DF不可能為斜邊，
①若CF為斜邊，則x²+（x）²=x²-x+12x²+x-1=0，
x=，x=（負(fù)值舍去），
②若AE為斜邊，則x²+x²-x+1=（x）²，解得：x=，
∵0＜x＜，
∴舍去
綜上所述當(dāng)x=時(shí)，存在以AE、DF、CF的長(zhǎng)為邊的直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定以及勾股定理應(yīng)用等知識(shí)，根據(jù)已知得出熟練利用勾股定理得出是解題關(guān)鍵．