Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CK交AB于P，D為上一點(diǎn)，且∠CPD=∠BPD=60°，連OC、OD．
（1）求證：∠OCK=∠ODP；
（2）若PC=4，PO=6，求S_△POD．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據(jù)∠CPD=∠BPD=60°，進(jìn)而得出∠KPO=60°，再利用角平分線的性質(zhì)得出EO=OF，再利用HL定理得出Rt△OEC≌Rt△OFD即可得出答案；
（2）首先利用直角三角形中30°所對(duì)邊等于斜邊的一半得出PE的長，進(jìn)而得出EC=EK=7，PK=10，再利用全等三角形的判定得出△OPD≌△OPK，即可得出S_△POD=S_△POK進(jìn)而求出即可．
解答：（1）證明：如圖所示：
作OE⊥CK于E，OF⊥PD于F，
∵∠CPD=∠BPD=60°，
∴∠KPB=180°-60°-60°=60°，
∵OE⊥CK，OF⊥PD，
∴EO=OF，∠OEC=∠OFD=90°，
在Rt△OEC和Rt△OFD中，
∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），
∴∠OCK=∠ODP；

（2）解：如圖所示：連接OK，∵∠KPB=60°，∠OEP=90°，
∴∠EOP=30°，
∴PE=PO=×6=3，
EO==3，
∵PC=4，
∴EC=EK=7，PK=10，
∵KO=CO，
∴∠OKC=∠OCK，
∵∠OCK=∠ODP，
∴∠K=∠ODP，
∴∠KOP=∠POD，
在△OPD和△OPK中，
，
∴△OPD≌△OPK，
∴S_△POD=S_△POK=×EO×PK=×10×3=30．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及垂徑定理和勾股定理等知識(shí)，根據(jù)已知轉(zhuǎn)換圖形得出S_△POD=S_△POK是解題關(guān)鍵．