Question

（2003•廈門）如圖，AB是⊙O的直徑，以O(shè)A為直徑的⊙O₁與⊙O的弦AC相交于點(diǎn)D．
（1）設(shè)弧BC的長為m₁，弧OD的長為m₂，求證：m₁=2m₂；
（2）若BD與⊙O₁相切，求證：BC=AD．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，O₁D，根據(jù)已知條件和圓心角與圓周角的關(guān)系可以得到弧BC，弧OD所對的弧的度數(shù)相同，根據(jù)弧長公司計(jì)算就可以證明結(jié)論；
（2）利用切線的性質(zhì)和直徑所對的圓周角是90°可以證明∠CBD=∠CAB，然后證明△ACB∽△BCD，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊成比例得到BC²=AC•CD，而OD⊥AC，據(jù)垂徑定理知道D是AC的中點(diǎn)，這樣就可以證明題目結(jié)論．
解答：證明：（1）連接OC，O₁D．
∵∠COB=2∠CAB，∠DO₁O=2∠DAO，
∴∠COB=∠DO₁O記∠COD的度數(shù)為n，
則∠DO₁O的度數(shù)也為n，
設(shè)⊙O₁的半徑為r，⊙O的半徑為R，
由題意得，R=2r，
∴m₁==2m₂．

（2）連接OD，
∵BD是⊙O₁的切線，
∴BD⊥O₁D．
∴∠BDO₁=90°．
而∴∠CBD+∠BDC=90°，∠ADO₁=∠CBD，
又∵∠DAO₁=∠ADO₁，
∴∠DAO₁=∠CBD，
∴△ACB∽△BCD
∴
∵AO是⊙O₁的直徑，
∴∠ADO=90°．
∴OD⊥AC．
∴D是AC的中點(diǎn)，即AC=2CD=2AD．
∴BC²=AC•CD=2AD²，
∴BC=AD．
點(diǎn)評：此題主要利用了垂徑定理，切線的性質(zhì)定理，圓的弧長公式，利用它們構(gòu)造相似三角形相似的條件，然后利用相似三角形的性質(zhì)解決問題．