Question

如圖，⊙O中有直徑AB、EF和弦BC，且BC和EF交于點(diǎn)D．點(diǎn)D是弦BC的中點(diǎn)，CD=4．DF=8．
（1）求⊙O的半徑R及線(xiàn)段AD的長(zhǎng)；
（2）求sin∠DAO的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點(diǎn)D是弦BC的中點(diǎn)，EF是直徑，根據(jù)垂徑定理的推論，即可得CB⊥EF且BD=CD=4，然后利用勾股定理，即可求得⊙O的半徑R；再連續(xù)AC，過(guò)D作DH⊥AB交AB于H，由AB是直徑，即可得∠ACB=90°，繼而可求得線(xiàn)段AD的長(zhǎng)；
（2）在Rt△DHB中，由DH=DB•sin∠DBH，可求得DH的長(zhǎng)，又由sin∠DAO=，求得答案．
解答：解：（1）∵D是BC的中點(diǎn)，EF是直徑，
∴CB⊥EF且BD=CD=4．…（1分）
∵DF=8，
∴OD=8-R，
∵OB²-OD²=DB²，
∴R²-（8-R）²=4²，
∴R=5．…（2分）
連續(xù)AC，過(guò)D作DH⊥AB交AB于H．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
∵CB=2CD=8，AB=10，
∴AC=6．
∴∠ACD=90°，AC=6，CD=4，
∴AD=2．…（3分）

（2）∵Rt△DHB中，DH=DB•sin∠DBH=4×=，…（4分）
∴sin∠DAO==．…（5分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，注意輔助線(xiàn)的作法．