Question

如圖，四邊形OABC為直角梯形，BC∥OA，A（9，0），C（0，4），AB=5． 點M從點O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向點A運動；點N從點B同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點C運動．其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．
（1）求直線AB的解析式；
（2）t為何值時，直線MN將梯形OABC的面積分成1：2兩部分；
（3）當t=1時，連接AC、MN交于點P，在平面內是否存在點Q，使得以點N、P、A、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）作BD⊥0A于點D．
∴BD=4，
∵AB=5，
由勾股定理得AD=3
∴OD=6
∴B（6，4）
設直線AB的解析式為：y=kx+b，由題意得

解得：
∴直線AB的解析式為：；

（2）設t秒后直線MN將梯形OABC的面積分成1：2兩部分，則
BN=t，CN=6-t，OM=2t，MA=9-2t
當S_{四邊形OMNC}：S_{四邊形NMAB}=1：2時

解得：t=-1（舍去）
當S_{四邊形OMNC}：S_{四邊形NMAB}=2：1時
，
解得t=4
∴t=4時，直線MN將梯形OABC的面積分成1：2兩部分．

（3）存在滿足條件的Q點，如圖：Q（9.5，2），Q₁（8.5，-2），Q₂（0.5，6）．
分析：（1）作BD⊥OA于點D，利用勾股定理求出AD的值，從而求出B點的坐標，利用待定系數法求出直線AB的解析式；
（2）梯形面積分為1：2的兩部分，要注意分兩種去情況進行分別計算，利用面積比建立等量關系求出t的值．
（3）M、N兩點的坐標求出MN的解析式和AC的解析式，利用直線與方程組的關系求出P點坐標，利用三角形全等求出Q、Q₁的坐標，求出直線Q₁P、QN的解析式，再求出其交點坐標就是Q₂的坐標．
點評：本題是一道一次函數的綜合試題，考查了用待定系數法求函數的解析式，圖形的面積，直線的解析式與二元一次方程組的關系，勾股定理及三角形全等的性質的運用．