Question

如圖，在四邊形ABCD中，M、N分別是AB、CD的中點，AN、BN、DM、CM劃分四邊形所形成的7個區(qū)域的面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄、S₅、S₆、S₇．那么恒成立的關(guān)系式為（　�。�

• A、S₂+S₆=S₄
• B、S₁+S₇=S₄
• C、S₂+S₃=S₄
• D、S₁+S₆=S₄

Answer 1

考點：面積及等積變換

專題：

分析：過A作AE⊥DC于E，過M作MH⊥DC于H，過B作BQ⊥DC于Q，得出梯形AEQB和得出MH是梯形的中位線，推出2MH=AE+BQ，根據(jù)三角形面積公式求出S₃+S₄+S₆=

1

2

×DC×MH，S₇+S₆=

1

2

×NC×BQ，S₁+S₃=

1

2

×DN×AE，推出S₇+S₆+S₁+S₃=

1

2

CD×MH，推出S₇+S₆+S₁+S₃=S₃+S₄+S₆，即可得出選項．

解答：解：
過A作AE⊥DC于E，過M作MH⊥DC于H，過B作BQ⊥DC于Q，
則AE∥MH∥BQ，
∵M為AB中點，
∴H為EQ中點，
即MH是梯形AEQB的中位線，
∴2MH=AE+BQ，
∵S₃+S₄+S₆=S_△MDC=

1

2

×DC×MH，
S₇+S₆=S_△BNC=

1

2

×NC×BQ，
S₁+S₃=S_△ADN=

1

2

×DN×AE，
∵DN=CN（N為DC中點），
∴S₇+S₆+S₁+S₃
=

1

2

×NC×AE+

1

2

×DN×AE
=

1

2

DN×（AE+BQ）
=

1

2

DN×2MH
=DN×MH
=

1

2

CD×MH，
∴S₇+S₆+S₁+S₃=S₃+S₄+S₆，
∴S₁+S₇=S₄，
故選B．

點評：本題考查了面積與等積變換的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計算和推理能力，題目比較特殊，有一定的難度．