精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點P在AB的延長線上,弦CE交AB于點D.連接OE、AC,且∠P=∠E,∠POE=2∠CAB.

(1)求證:CE⊥AB;
(2)求證:PC是⊙O的切線;
(3)若BD=2OD,PB=9,求⊙O的半徑及tan∠P的值.

【答案】
(1)

證明:連接OC,

∴∠COB=2∠CAB,

又∠POE=2∠CAB.

∴∠COD=∠EOD,

則弧BC=弧BE,

即CE⊥AB;


(2)

證明:∵CE⊥AB,∠P=∠E,

∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°,

又∠OCD=∠E,

∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°,

∴PC是⊙O的切線;


(3)

解:設⊙O的半徑為r,OD=x,則BD=2x,r=3x,

∵CD⊥OP,OC⊥PC,

∴Rt△OCD∽Rt△OPC,

∴OC2=ODOP,即(3x)2=x(3x+9),

解之得x= ,

∴⊙O的半徑r= ,

在Rt△OCP中, PC= = =9 ,

tan∠P= = .


【解析】(1)此題方法不唯一,主要是運用“同弧所對的圓周角是圓心角的一半”,題中給出的是證明弧BC和弧BE所對的圓心角相等,則所對的弧相等,則由垂徑定理可證得;
2)證明相切,需證明半徑OC⊥CP,即證明∠PCO=90°;而由(1)可得∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°,而由半徑OE=OC,根據等邊對等角,可得∠OCD=∠E,則可證得∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°;
3)要求⊙O的半徑,可考慮運用勾股定理的方法和相似三角形的方法,題中給出的是運用相似三角形的判定和性質解答,由BD=2OD,可得邊BD,半徑與OD的關系,則證明Rt△OCD∽Rt△OPC,可得邊 OC2=ODOP,代入相關數據,求出半徑OC和OD;在Rt△OCP中,tan∠P= ,OC已求,則PO=OB+PB,則可求出PC,代入即可解出.
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念和切線的性質定理,需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;切線的性質:1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能得出正確答案.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,隨機地閉合開關S1 , S2 , S3 , S4 , S5中的三個,能夠使燈泡L1 , L2同時發(fā)光的概率是

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,已知反比例函數y= 的圖象與直線y=﹣x+b都經過點A(1,4),且該直線與x軸的交點為B.

(1)求反比例函數和直線的解析式;
(2)求△AOB的面積

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標中,△ABC三個頂點坐標為A(﹣ ,0)、B( ,0)、C(0,3).

(1)求△ABC內切圓⊙D的半徑.
(2)過點E(0,﹣1)的直線與⊙D相切于點F(點F在第一象限),求直線EF的解析式.
(3)以(2)為條件,P為直線EF上一點,以P為圓心,以2 為半徑作⊙P.若⊙P上存在一點到△ABC三個頂點的距離相等,求此時圓心P的坐標.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,半徑為1的半圓形紙片,按如圖方式折疊,使對折后圓弧的中點M與圓心O重合,則圖中陰影部分的面積是.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】
(1)計算: ;
(2)解不等式組:

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,直線y=x+b(b>4)與x軸、y軸分別相交于點A、B,與反比例函數 的圖象相交于點C、D(點C在點D的左側),⊙O是以CD長為半徑的圓.CE∥x軸,DE∥y軸,CE、DE相交于點E.
(1)△CDE是三角形;點C的坐標為 , 點D的坐標為(用含有b的代數式表示);
(2)b為何值時,點E在⊙O上?
(3)隨著b取值逐漸增大,直線y=x+b與⊙O有哪些位置關系?求出相應b的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,在邊長為24cm的正方形紙片ABCD上,剪去圖中陰影部分的四個全等的等腰直角三角形,再沿圖中的虛線折起,折成一個長方體形狀的包裝盒(A、B、C、D四個頂點正好重合于上底面上一點).已知E、F在AB邊上,是被剪去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點,設AE=BF=x(cm).
(1)若折成的包裝盒恰好是個正方體,試求這個包裝盒的體積V;
(2)某廣告商要求包裝盒的表面(不含下底面)面積S最大,試問x應取何值?

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,⊙O的半徑為17cm,弦AB∥CD,AB=30cm,CD=16cm,圓心O位于AB,CD的上方,求AB和CD的距離.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案