Question

在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點D是BC上一動點（不與B、C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α后到達AE位置，連接DE、CE，設∠BCE＝β．
（1）如圖1，若α＝90°，求β的大��；

（2）如圖2，當點D在線段BC上運動時，試探究α與β之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；

（3）當點D在線段BC的反向延長線上運動時（畫出圖形），（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請直接寫出α與β之間的數(shù)量關系．

Answer 1

（1）90°（2）α+β=180°，證明見解析（3）不成立，α=β

解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°．
∵∠DAB=α-∠DAC，∠EAC=α-∠DAC，
∴∠EAC=∠DAB．
又AB=AC，AD=AE，
∴△DAB≌△EAC．
∴∠ECA=∠B=45°．
∴β=∠ACB+ECA=90°．
（2）α+β=180°．
證明：∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
又AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE．
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB=β．
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°．
（3）當點D在線段BC的反向延長線上運動時，（2）中的結(jié)論不能成立，此時：α=β成立．
其理由如下：
類似（2）可證∴△DAB≌△ECA，
∴∠DBA=∠ECA，
又由三角形外角性質(zhì)有∠DBA=α+∠DCA，
而∠ACE=β+∠DCA，
∴α=β．
（1）先利用邊角邊定理證明△DAB與△EAC全等，再根據(jù)全等三角形的對應角相等得到∠ECA=∠B=45°，β的值即可求出；
（2）方法同（1）證出∠ECA=∠B，所以∠B+∠ACB=β，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到α+β=180°；
（3）方法同（2）證出∠ECA=∠ABD，所以α+∠DCA=β+∠DCA，所以α=β．