Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y＝kx+3（k≠0）交x軸于點(diǎn)A（4，0），交y軸正半軸于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)C（0，2）作y軸的垂線CD交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P從E出發(fā)，沿著射線ED向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)PE＝n．

（1）求直線AB的表達(dá)式；

（2）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求n的值；

（3）若以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，PB為直角邊在直線CD的上方作等腰Rt△BPM，試問(wèn)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M是否也在直線上運(yùn)動(dòng)？如果在直線上運(yùn)動(dòng)，求出該直線的解析式；如果不在直線上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+3；（2）n=或+或﹣+2；（3）在直線上，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線AB：y=kx+3并解得：k=﹣，即可求解；

（2）分AP=BP、AP=AB、AB=BP三種情況，分別求解即可；

（3）證明△MHP≌△PCB（AAS），求出點(diǎn)M（n+，n+），即可求解．

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線AB：y=kx+3并解得：k=﹣，

故AB的表達(dá)式為：y=﹣x+3；

（2）當(dāng)y=2時(shí)，x=，故點(diǎn)E（，2），則點(diǎn)P（n+，2），

而點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為：（4，0）、（0，3），

則AP2=（+n﹣4）2+4；BP2=（n+）2+1，AB2=25，

當(dāng)AP=BP時(shí)，（+n﹣4）2+4=（n+）2+1，解得：n=；

當(dāng)AP=AB時(shí)，同理可得：n=（不合題意值已舍去）；

當(dāng)AB=BP時(shí)，同理可得：n=﹣+2；

故n＝或+或﹣+2；

（3）在直線上，理由：

如圖，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥CD于點(diǎn)H，

∵∠BPC+∠PBC=90°，∠BPC+∠MPH=90°，

∴∠CPB=∠MPH，BP=PM，∠MHP=∠PCB=90°

∴△MHP≌△PCB（AAS），

則CP=MH=n+，BC=1=PH，

故點(diǎn)M（n+，n+），

n++1= n+，

故點(diǎn)M在直線y=x+1上．