Question

如圖，矩形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，點(diǎn)D是AB邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），沿OD將△OAD翻折后，點(diǎn)A 落在點(diǎn)P處。
（1）若點(diǎn)P在一次函數(shù)y=2x-l的圖象上，求點(diǎn)P 的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P在拋物線y=ax²上，并滿足△PCB是等腰三角形，求該拋物線解析式；
（3）當(dāng)線段OD與PC所在直線垂直時(shí)，在PC所在直線上作出一點(diǎn)M，使DM+BM最小，并求出這個(gè)最小值。

Answer 1

解：（1） ∵ ∴BC=OA=OP=1， ∵點(diǎn)P在一次函數(shù)y=2x-1的圖象上， ∴設(shè)P（x，2x-1）， 如圖（1），過P作PH⊥x軸于H， 在Rt△OPH中，PH=2x-1，OH=x，OP=1， ∴x2+（2x-1）2 =1， 解得x1=4/5，x2=0（不合題意，舍去） ∴P（4/5，3/5）；
（2）連接P、PC， ①若PB=PC，則P在BC中垂線y=1/2上， ∴設(shè)P（x，1/2）， 如圖（2），過P作PH⊥x軸于H， 在Rt△OPH中，PH=1/2，OH=x，OP=1， ∴x2+=1 解得 ∴ ∴1/2=a×， 解得a=2/3， ∴y=x； ②若BP=BC，則BP=1， 連接OB， ∵OP=1， ∴OP+PB=2， ∵在Rt△OBC中，∠OCB=90°，OB= ∴OP+PB=OB， ∴O、P、B三點(diǎn)共線，P為OB中點(diǎn)， ∴1/2=a×， 解得：a=2/3， ∴y=x2 ③若CP=CB，則CP=1， ∴PO=PC，則P在OC中垂線上， ∴設(shè)，過P作PH⊥x軸于H， 在Rt△OPH中， ∴y2+=1， 解得：y1=1/2，y2=-1/2 時(shí)， ∴ 當(dāng)點(diǎn)時(shí)，∠AOP=120°，此時(shí)∠AOD=60°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，符合題意， 若點(diǎn)，則1/2=a×， 解得：a=2/3， ∴y=x2 若點(diǎn)，則-1/2=a×， 解得：a=-2/3， ∴y=-x2
（3）如圖（3），∵△OAD沿OD翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處， ∴OD垂直平分AP， ∵PC⊥OD， ∴A、P、C三點(diǎn)共線， 在Rt△AOD中，∠OAD=90°，OA=1， 又可得：∠AOD=30°， ∴AD=AO · tan30°=， ∴ 作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，過點(diǎn)B′作B′N⊥AB于點(diǎn)N，連接DB′，DB′與AC交點(diǎn)為M，此點(diǎn)為所求點(diǎn)， ∵∠ACB′- ∠ACB=60°，∠ACO=30°， ∴∠B′CO=30°， ∵B′C=BC=1， ∴ 在Rt△B′ND中， ∠B′ND=90°，B′N=3/2，DN=AN-AD = ∴ ∴DM+ BM的最小值為。	（3）