Question

（2013•湖州一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓與AB、BC分別交于點(diǎn)E、D，則AE的長(zhǎng)為

18

5

．

Answer 1

分析：在Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的長(zhǎng)；過(guò)C作CM⊥AB，交AB于點(diǎn)M，由垂徑定理可得M為AE的中點(diǎn)，在Rt△ACM中，根據(jù)勾股定理得AM的長(zhǎng)，從而得到AE的長(zhǎng)．

解答：解：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4；
根據(jù)勾股定理，得AB=5．
過(guò)C作CM⊥AB，交AB于點(diǎn)M，如圖所示，

由垂徑定理可得M為AE的中點(diǎn)，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴CM=

12

5

，
在Rt△ACM中，根據(jù)勾股定理得：AC²=AM²+CM²，即9=AM²+（

12

5

）²，
解得：AM=

9

5

，
∴AE=2AM=

18

5

．
故答案為：

18

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理及垂徑定理的理解及運(yùn)用．