Question

通過實(shí)驗(yàn)研究，專家們發(fā)現(xiàn)：初中學(xué)生聽課的注意力指標(biāo)數(shù)是隨著老師講課時間的變化而變化的，講課開始時，學(xué)生的興趣激增，中間有一段時間的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散．學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)y隨時間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示（y越大表示注意力越集中）．當(dāng)0≤x≤10時，圖象是拋物線的一部分，當(dāng)10≤x≤20和20≤x≤40時，圖象是線段．
（1）當(dāng)0≤x≤10時，求注意力指標(biāo)數(shù)y與時間x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）一道數(shù)學(xué)綜合題，需要講解24分鐘．問老師能否經(jīng)過適當(dāng)安排，使學(xué)生聽這道題時，注意力的指標(biāo)數(shù)都不低于36？

Answer 1

分析：（1）先由圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)求出拋物線的關(guān)系式，再由圖象上的兩點(diǎn)坐標(biāo)求出一次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）此題綜合考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式的求法及相關(guān)知識的應(yīng)用．

解答：解：（1）設(shè)0≤x≤10時的拋物線為y=ax²+bx+c
由圖象知拋物線過（0，20），（5，39），（10，48）三點(diǎn)
∴

c=20 25a+5b+c=39 100a+10b+c=48

解得

a=- 1 5 b= 24 5 c=20

∴y=-

1

5

x²+

24

5

x+20，（0≤x≤10）．

（2）由圖象知，當(dāng)20≤x≤40時，y=-

7

5

x+76
當(dāng)0≤x≤10時，令y=36，得36=-

1

5

x²+

24

5

x+20
解得x₁=4，x₂=20（舍去）
當(dāng)20≤x≤40時，另y=36，得36=-

7

5

x+76
解得x=

200

7

=28

4

7

∵28

4

7

-4=24

4

7

＞24
∴老師可以通過適當(dāng)?shù)陌才�，在學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)不低于36時，講授完這道數(shù)學(xué)綜合題．

點(diǎn)評：此題綜合性強(qiáng)，把二次函數(shù)、一次函數(shù)有機(jī)地與實(shí)際問題融合在一起，并與高中的分段函數(shù)相聯(lián)系，起到承前啟后的作用．