Question

（本小題滿分12分）

如圖16，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AD = 6，BC = 8，，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿MB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立刻以原速度沿BM返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度在射線MC上勻速運(yùn)動(dòng)．在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過程中，以PQ為邊作等邊三角形EPQ，使它與梯形ABCD在射線BC的同側(cè)．點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P返回到點(diǎn)M時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止．

設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t＞0)．

（1）設(shè)PQ的長(zhǎng)為y，在點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，寫出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫t的取值范圍）．

（2）當(dāng)BP = 1時(shí)，求△EPQ與梯形ABCD重疊部分的面積．

（3）隨著時(shí)間t的變化，線段AD會(huì)有一部分被△EPQ覆蓋，被覆蓋線段的長(zhǎng)度在某個(gè)時(shí)刻會(huì)達(dá)到最大值，請(qǐng)回答：該最大值能否持續(xù)一個(gè)時(shí)段？若能，直接寫出t的取值范圍；若不能，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）y = 2t

（2）

（3）能．4≤t≤5

【解析】解：（1）y = 2t；

（2）當(dāng)BP = 1時(shí)，有兩種情形：

①如圖6，若點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，有 MB = = 4，MP = MQ = 3，

∴PQ = 6．連接EM，

∵△EPQ是等邊三角形，∴EM⊥PQ．∴．

∵AB = ，∴點(diǎn)E在AD上．

∴△EPQ與梯形ABCD重疊部分就是△EPQ，其面積為．

②若點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，由題意得 ．

PQ = BM + MQBP = 8，PC = 7．設(shè)PE與AD交于點(diǎn)F，QE與AD或AD的

延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，則

HP = ，AH = 1．在Rt△HPF中，∠HPF = 30°，

∴HF = 3，PF = 6．∴FG = FE = 2．又∵FD = 2，

∴點(diǎn)G與點(diǎn)D重合，如圖7．此時(shí)△EPQ與梯形ABCD 的重疊部分就是梯形FPCG，其面積為．

（3）能．4≤t≤5．