Question

18．如圖，過⊙O外一點(diǎn)P向⊙O作兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若⊙O半徑為2，∠APB=60°，則圖中陰影部分的面積為4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．

Answer 1

分析 連接OA、OB，OP，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理得到∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=30°，則根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠AOB=180°-∠APB=120°，再在Rt△PAO中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AP=$\sqrt{3}$OA=2$\sqrt{3}$，則S_△PAO=2$\sqrt{3}$，然后根據(jù)扇形面積公式，利用陰影部分的面積=S_{四邊形AOBP}-S_扇形AOB進(jìn)行計(jì)算．

解答 解：連接OA、OB，OP，如圖，
∵PA，PB是⊙O的兩條切線，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，OP平分∠APB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴∠AOB=180°-∠APB=180°-60°=120°，
在Rt△PAO中，∵OA=2，∠APO=30°，
∴AP=$\sqrt{3}$OA=2$\sqrt{3}$，
∴S_△PAO=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴陰影部分的面積=S_{四邊形AOBP}-S_扇形AOB
=2×2$\sqrt{3}$-$\frac{120•π×{2}^{2}}{360}$=4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．
故答案為：4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．會(huì)利用面積的和差計(jì)算不規(guī)則圖形的面積．