Question

如圖10所示，Rt△ABC是一張放在平面直角坐標系中的紙片，點C與原點O重合，點A在x軸的正半軸上，點B在y軸的正半軸上，已知OA=3，OB＝4。將紙片的直角部分翻折，使點C落在AB邊上，記為D點，AE為折痕，E在y軸上。

（1）在圖10所示的直角坐標系中，求E點的坐標及AE的長。

（2）線段AD上有一動點P（不與A、D重合）自A點沿AD方向以每秒1個單位長度向D點作勻速運動，設運動時間為t秒（0<t<3），過P點作PM∥DE交AE于M點，過點M作MN∥AD交DE于N點，求四邊形PMND的面積S與時間t之間的函數(shù)關系式，當t取何值時，S有最大值？最大值是多少？

（3）當t（0<t<3）為何值時，A、D、M三點構成等腰三角形？并求出點M的坐標。

         圖10

Answer 1

解（1）

　　　　

　　　 據(jù)題意，△AOE≌△ADE

　　　 ∴OE＝DE，∠ADE＝∠AOE＝90⁰，AD＝AO＝3

　　　 在Rt△AOB中，

　　　

　　　 設DE＝OE＝x

　　　 在Rt△BED中

　　　 BD²＋DE²＝BE²

　　 　即2²＋x²＝（4－x）²

　　　 解得

　　　 ∴E（0，）

　　　 在Rt△AOE中

　　　

（2）∵PM∥DE，MN∥AD，且∠ADE＝90⁰

∴四邊形PMND是矩形

∵AP＝t×1＝t

∴PD＝3－t

∵△AMP∽△AED

∴

∴PM＝

∴

∴或

當時

（3）△ADM為等腰三角形有以下二種情況

①當MD＝MA時，點P是AD中點

∴

∴（秒）

∴當時，A、D、M三點構成等腰三角形

過點M作MF⊥OA于F

∵△APM≌△AFM

∴AF＝AP＝，MF＝MP＝

∴OF＝OA－AF＝3－

∴M（，）

②當AD＝AM＝3時

△AMP∽△AED

∴

∴

∴

∴（秒）

∴當秒時，A、D、M三點構成等腰三角形

過點M作MF⊥OA于F

∵△AMF≌△AMP

∴AF＝AP＝，FM＝PM＝

∴OF＝OA－AF＝3－

∴M（，）