Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于A（-4，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）點(diǎn)P是拋物上第三象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCP的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形ABCP的面積；
（3）點(diǎn)M在拋物線對稱軸上，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以點(diǎn)M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A（-4，0）、B（3，0）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx-4，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m²+m-4），則-4＜m＜0．根據(jù)S_{四邊形ABCP}=S_△AOP+S_△COP+S_△BOC，得出S_{四邊形ABCP}=-（m+2）²+，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）在直角△BOC中，由勾股定理求出BC=5．設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-，y），如果以點(diǎn)M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，分兩種情況討論：（i）以BC為邊長時(shí)，又分兩種情況，如果四邊形CBMN是菱形，那么由BM=BC，列出關(guān)于y的方程，解方程即可；如果四邊形BCMN是菱形，那么由CM=BC，列出關(guān)于y的方程，解方程即可；（ii）以BC為對角線時(shí)，四邊形MCNB是菱形，則由BM=CM，列出關(guān)于y的方程，解方程即可．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于A（-4，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為y=x²+x-4；

（2）如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m²+m-4），則-4＜m＜0，m²+m-4＜0．連接OP．
∵S_{四邊形ABCP}=S_△AOP+S_△COP+S_△BOC
=×4（-m²-m+4）+×4（-m）+×4×3
=-m²-m+14
=-（m+2）²+，
∴當(dāng)m=-2時(shí)，四邊形ABCP的面積最大，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-）；

（3）存在這樣的點(diǎn)M、N，能夠使得以點(diǎn)M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．理由如下：
∵OB=3，OC=4，∠BOC=90°，
∴BC==5．
設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-，y），分兩種情況討論：
（i）以BC為邊長時(shí)，
如果四邊形CBMN是菱形，那么BM=BC，
即（3+）²+y²=25，解得y=±，
即存在M（-，）或（-，-），能夠使以點(diǎn)M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；
如果四邊形BCMN是菱形，那么CM=BC，
即（0+）²+（y+4）²=25，
整理，得4y²+32y-35=0，解得y=-4±，
即存在M（-，-4+）或（-，-4-），能夠使以點(diǎn)M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；
（ii）以BC為對角線時(shí)，四邊形MCNB是菱形，則BM=CM，
即（3+）²+y²=（0+）²+（y+4）²，解得y=-，
即存在M（-，-），能夠使以點(diǎn)M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；
綜上可知，存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以點(diǎn)M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M₁（-，），M₂（-，-4+），M₃（-，-），M₄（-，-4-），
M₅（-，-）．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，四邊形的面積求法，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．其中（3）需要注意分析題意分情況進(jìn)行討論，否則容易漏解．