【題目】已知:平面直角坐標(biāo)系中,點A(a,b)的坐標(biāo)滿足|a﹣b|+b2﹣8b+16=0.
(1)如圖1,求證:OA是第一象限的角平分線;
(2)如圖2,過A作OA的垂線,交x軸正半軸于點B,點M、N分別從O、A兩點同時出發(fā),在線段OA上以相同的速度相向運動(不包括點O和點A),過A作AE⊥BM交x軸于點E,連BM、NE,猜想∠ONE與∠NEA之間有何確定的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)如圖3,F(xiàn)是y軸正半軸上一個動點,連接FA,過點A作AE⊥AF交x軸正半軸于點E,連接EF,過點F點作∠OFE的角平分線交OA于點H,過點H作HK⊥x軸于點K,求2HK+EF的值.
【答案】(1)證明見解析 (2)答案見解析 (3)8
【解析】
(1)過點A分別作x軸,y軸的垂線,垂足分別為M、N,則AN=AM,
根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值即可得結(jié)論;
(2)如圖2,過A作AH平分∠OAB,交BM于點H,則△AOE≌△BAH,可得AH=OE,由已知條件可知ON=AM,∠MOE=∠MAH,可得△ONE≌△AMH,∠ABH=∠OAE,設(shè)BM與NE交于K,則∠MKN=180°﹣2∠ONE=90°﹣∠NEA,即2∠ONE﹣∠NEA=90°;
(3)如圖3,過H作HM⊥OF,HN⊥EF于M、N,可證△FMH≌△FNH,則FM=FN,同理:NE=EK,先得出OE+OF﹣EF=2HK,再由△APF≌△AQE得PF=EQ,即可得OE+OF=2OP=8,等量代換即可得2HK+EF的值.
解:(1)∵|a﹣b|+b2﹣8b+16=0
∴|a﹣b|+(b﹣4)2=0
∵|a﹣b|≥0,(b﹣4)2≥0
∴|a﹣b|=0,(b﹣4)2=0
∴a=b=4
過點A分別作x軸,y軸的垂線,垂足分別為M、N,則AN=AM
∴OA平分∠MON
即OA是第一象限的角平分線
(2)過A作AH平分∠OAB,交BM于點H
∴∠OAH=∠HAB=45°
∵BM⊥AE
∴∠ABH=∠OAE
在△AOE與△BAH中
,
∴△AOE≌△BAH(ASA)
∴AH=OE
在△ONE和△AMH中
,
∴△ONE≌△AMH(SAS)
∴∠AMH=∠ONE
設(shè)BM與NE交于K
∴∠MKN=180°﹣2∠ONE=90°﹣∠NEA
∴2∠ONE﹣∠NEA=90°
(3)過H作HM⊥OF,HN⊥EF于M、N
可證:△FMH≌△FNH(SAS)
∴FM=FN
同理:NE=EK
∴OE+OF﹣EF=2HK
過A作AP⊥y軸于P,AQ⊥x軸于Q
可證:△APF≌△AQE(SAS)
∴PF=EQ
∴OE+OF=2OP=8
∴2HK+EF=OE+OF=8
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【題目】如圖,AB表示路燈,CD、C′D′表示小明所在兩個不同位置:
(1)分別畫出這兩個不同位置小明的影子;
(2)小明發(fā)現(xiàn)在這兩個不同的位置上,他的影子長分別是自己身高的1倍和2倍,他又量得自己的身高為1.5米,DD′長為3米,你能幫他算出路燈的高度嗎?(B、D、D′在一條直線上)
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【題目】閱讀材料:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,A、B兩點的坐標(biāo)分別為A(x1 , y1),B(x2,y2),AB中點P的坐標(biāo)為(xp,yp).由xp﹣x1=x2﹣xp,得xp= ,同理yp= ,所以AB的中點坐標(biāo)為(,).由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2,所以A、B兩點間的距離公式為AB=.這兩公式對A、B在平面直角坐標(biāo)系中其它位置也成立.解答下列問題:
(1)已知M(1,﹣2),N(﹣1,2),直接利用公式填空:MN中點坐標(biāo)為________,MN=________.
(2)如圖2,直線l:y=2x+2與拋物線y=2x2交于A、B兩點,P為AB的中點,過P作x軸的垂線交拋物線于點C.
(a)求A、B兩點的坐標(biāo)及C點的坐標(biāo);
(b)連結(jié)AB、AC,求證△ABC為直角三角形;
(c)將直線l平移到C點時得到直線l′,求兩直線l與l′的距離.
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【題目】為了推動“龍江經(jīng)濟帶”建設(shè),我省某蔬菜企業(yè)決定通過加大種植面積、增加種植種類,促進經(jīng)濟發(fā)展,2017年春,預(yù)計種植西紅柿、馬鈴薯、青椒共100公頃(三種蔬菜的種植面積均為整數(shù)),青椒的種植面積是西紅柿種植面積的2倍,經(jīng)預(yù)算,種植西紅柿的利潤可達(dá)1萬元/公頃,青椒1.5萬元/公頃,馬鈴薯2萬元/公頃,設(shè)種植西紅柿x公頃,總利潤為y萬元.
(1)求總利潤y(萬元)與種植西紅柿的面積x(公頃)之間的關(guān)系式.
(2)若預(yù)計總利潤不低于180萬元,西紅柿的種植面積不低于8公頃,有多少種種植方案?
(3)在(2)的前提下,該企業(yè)決定投資不超過獲得最大利潤的在冬季同時建造A、B兩種類型的溫室大棚,開辟新的經(jīng)濟增長點,經(jīng)測算,投資A種類型的大棚5萬元/個,B種類型的大棚8萬元/個,請直接寫出有哪幾種建造方案?
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【題目】如圖,在△ABC中,中線BE、CF相交于點G,連接EF,下列結(jié)論:
①=; ②=; ③=; ④=.其中正確的個數(shù)有( )
A. 1個 B. C. 3個 D. 4個
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【題目】)如圖,在△ABC中,D是BC邊上的中點,F(xiàn)、E分別是AD及其延長線上的點,CF∥BE。
(1)試說明△BDE≌△CDF
(2)請連接BF、CE,試判斷四邊形BECF是何種特殊四邊形,并說明理由.
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【題目】如圖,將邊長為的正六邊形,在直線上由圖的位置按順時針方向向右作無滑動滾動,當(dāng)第一次滾動到圖位置時,頂點所經(jīng)過的路徑的長為( )
A. B. . C. D.
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【題目】小林準(zhǔn)備進行如下操作實驗:把一根長為的鐵絲剪成兩段,并把每一段各圍成一個正方形.
要使這兩個正方形的面積之和等于,小林該怎么剪?
小峰對小林說:“這兩個正方形的面積之和不可能等于.”他的說法對嗎?請說明理由.
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【題目】某商場在“清明小假期”舉行促銷活動,設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤進行搖獎活動,并規(guī)定顧客每購買200元商品,就可以獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會,小明根據(jù)活動情況繪制了一個扇形統(tǒng)計圖,如圖所示.
(1)求每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲得購物券金額的平均數(shù);
(2)小明做了一次實驗,他轉(zhuǎn)了200次轉(zhuǎn)盤,總共獲得5800元購物券,他平均每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤獲得的購物券是多少元?
(3)請你說明上述兩個結(jié)果為什么有差別?
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