【題目】如圖,在射線BA,BC,AD,CD圍成的菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=6 ,O是射線BD上一點(diǎn),⊙O與BA,BC都相切,與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M.過(guò)M作EF⊥BD交線段BA(或射線AD)于點(diǎn)E,交線段BC(或射線CD)于點(diǎn)F.以EF為邊作矩形EFGH,點(diǎn)G,H分別在圍成菱形的另外兩條射線上.
(1)求證:BO=2OM.
(2)設(shè)EF>HE,當(dāng)矩形EFGH的面積為24 時(shí),求⊙O的半徑.
(3)當(dāng)HE或HG與⊙O相切時(shí),求出所有滿足條件的BO的長(zhǎng).

【答案】
(1)

證明:如圖1所示:設(shè)⊙O切AB于點(diǎn)P,連接OP,則∠OPB=90°.

∵四邊形ABCD為菱形,

∴∠ABD= ∠ABC=30°.

∴OB=2OP.

∵OP=OM,

∴BO=2OP=2OM.


(2)

解:如圖2所示:設(shè)GH交BD于點(diǎn)N,連接AC,交BD于點(diǎn)Q.

∵四邊形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD.

∴BD=2BQ=2ABcos∠ABQ= AB=18.

設(shè)⊙O的半徑為r,則OB=2r,MB=3r.

∵EF>HE,

∴點(diǎn)E,F(xiàn),G,H均在菱形的邊上.

①如圖2所示,當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí).

在Rt△BEM中,EM=BMtan∠EBM= r.

由對(duì)稱性得:EF=2EM=2 r,ND=BM=3r.

∴MN=18﹣6r.

∴S矩形EFGH=EFMN=2 r(18﹣6r)=24

解得:r1=1,r2=2.

當(dāng)r=1時(shí),EF<HE,

∴r=1時(shí),不合題意舍

當(dāng)r=2時(shí),EF>HE,

∴⊙O的半徑為2.

∴BM=3r=6.

如圖3所示:

當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上時(shí).BM=3r,則MD=18﹣3r.

由對(duì)稱性可知:NB=MD=6.

∴MB=3r=18﹣6=12.

解得:r=4.

綜上所述,⊙O的半徑為2或4.


(3)

解:解設(shè)GH交BD于點(diǎn)N,⊙O的半徑為r,則BO=2r.

當(dāng)點(diǎn)E在邊BA上時(shí),顯然不存在HE或HG與⊙O相切.

①如圖4所示,點(diǎn)E在AD上時(shí).

∵HE與⊙O相切,

∴ME=r,DM= r.

∴3r+ r=18.

解得:r=9﹣3

∴OB=18﹣6

②如圖5所示;

由圖形的對(duì)稱性得:ON=OM,BN=DM.

∴OB= BD=9.

③如圖6所示.

∵HG與⊙O相切時(shí),MN=2r.

∵BN+MN=BM=3r.

∴BN=r.

∴DM= FM= GN=BN=r.

∴D與O重合.

∴BO=BD=18.

④如圖7所示:

∵HE與⊙O相切,

∴EM=r,DM= r.

∴3r﹣ r=18.

∴r=9+3

∴OB=2r=18+6

綜上所述,當(dāng)HE或GH與⊙O相切時(shí),OB的長(zhǎng)為18﹣6 或9或18或18+6


【解析】(1)設(shè)⊙O切AB于點(diǎn)P,連接OP,由切線的性質(zhì)可知∠OPB=90°.先由菱形的性質(zhì)求得∠OBP的度數(shù),然后依據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)證明即可;
   。2)設(shè)GH交BD于點(diǎn)N,連接AC,交BD于點(diǎn)Q.先依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值求得BD的長(zhǎng),設(shè)⊙O的半徑為r,則OB=2r,MB=3r.當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí).在Rt△BEM中,依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可得到EM的長(zhǎng)(用含r的式子表示),由圖形的對(duì)稱性可得到EF、ND、BM的長(zhǎng)(用含r的式子表示,從而得到MN=18﹣6r,接下來(lái)依據(jù)矩形的面積列方程求解即可;當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上時(shí).BM=3r,則MD=18﹣3r,最后由MB=3r=12列方程求解即可;
    (3)先根據(jù)題意畫出符合題意的圖形,
    ①如圖4所示,點(diǎn)E在AD上時(shí),可求得DM= r,BM=3r,然后依據(jù)BM+MD=18,列方程求解即可;
   、谌鐖D5所示;依據(jù)圖形的對(duì)稱性可知得到OB= BD;
   、廴鐖D6所示,可證明D與O重合,從而可求得OB的長(zhǎng);
    ④如圖7所示:先求得DM= r,OMB=3r,由BM﹣DM=DB列方程求解即可.本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用,解答本題主要應(yīng)用了菱形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用、矩形的面積公式,根據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問(wèn)題

(1)此次調(diào)查的家長(zhǎng)總?cè)藬?shù)為   ;

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