Question

如圖，以等腰△ABC的腰AB為⊙O的直徑交底邊BC于D，DE⊥AC于E．
求證：
（1）DB=DC；
（2）DE為⊙O的切線．

Answer 1

證明：（1）連接AD．
∵AB為⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
又AB=AC，
∴BD=CD；

（2）連接OD．
∵OA=OB，BD=CD，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE為⊙O的切線．
分析：（1）連接AD．根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得到AD⊥BC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證明；
（2）連接OD，根據(jù)三角形的中位線定理得到OD∥AC，結(jié)合DE⊥AC得到OD⊥DE，從而證明結(jié)論．
點(diǎn)評：此題綜合運(yùn)用了圓周角定理的推論，即直徑所對的圓周角是直角；等腰三角形的性質(zhì)，即等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線；三角形的中位線定理以及平行線的性質(zhì)；切線的判定，即經(jīng)過半徑的外端，且垂直于半徑的直線是圓的切線．
注意：構(gòu)造直徑所對的圓周角和連接過切點(diǎn)的半徑是圓中常見的輔助線之一．