(1998•北京)如圖,AB為半圓的直徑,O為圓心,AB=6,延長BA到F,使FA=AB.若P為線段AF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P點(diǎn)與A點(diǎn)不重合),過P點(diǎn)作半圓的切線,切點(diǎn)為C,作CD⊥AB,垂足為D.過B點(diǎn)作BE⊥PC,交PC的延長線于點(diǎn)E.連接AC、DE.
(1)判斷線段AC、DE所在直線是否平行,并證明你的結(jié)論;
(2)設(shè)AC為x,AC+BE為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
分析:(1)證Rt△PCD∽Rt△PBE得出比例式,根據(jù)切割線定理得出比例式,推出
PA
PC
=
PD
PE
,推出即可;
(2)連接BC,根據(jù)勾股定理求出BC2=36-x2,證Rt△ABC∽Rt△CBE,得出
AB
BC
=
CB
BE
,求出BE=
BC2
AB
=
36-x2
6
,代入即可求出答案.
解答:(1)線段AC、DE所在直線平行.
證明:∵CD⊥AB,BE⊥PE,∠CPD=∠BPE,
∴Rt△PCD∽Rt△PBE,
PC
PB
=
PD
PE

∵PC與⊙O相切于C點(diǎn),PAB為⊙O的割線
∴PC2=PA×PB
PC
PB
=
PA
PC
,
PA
PC
=
PD
PE

∵∠CPA=∠EPD,
∴△CPA∽△EPD,
∴∠PCA=∠PED,
∴AC∥DE;

(2)解:連接BC,
∵AB為半圓直徑,
∴∠ACB=90°,
∴AC2+BC2=AB2;
∵AC=x,AB=6
∴BC2=62-x2=36-x2,
∵PC與半圓相切于點(diǎn)C
∴∠BAC=∠BCE,
∵∠ACB=∠BEC=90°,
∴Rt△ABC∽Rt△CBE,
AB
BC
=
CB
BE
,
∴BE=
BC2
AB
=
36-x2
6

∵y=AC+BE
∴y=x+
36-x2
6

y=-
1
6
x2+x+6,
∵P為線段AF上動(dòng)點(diǎn)(P點(diǎn)與A點(diǎn)不重合)
∴點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí),AC的值最大,此時(shí)PC=
(6+3)2-62
=3
5

根據(jù)三角形面積求出CD=2
5
,
OD=
62-(2
5
)2
=4,AD=6-4=2,
即AC=
(2
5
)2+22
=2
6

∴y=-
1
6
x2+x+6,其中0<x≤2
6
點(diǎn)評:本題考查了平行線分線段成比例定理,相似三角形的性質(zhì)和判定,切線的性質(zhì),平行線的判定,勾股定理,三角形的面積等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用,主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力,難度偏大.
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BCD
的度數(shù)為240°,那么∠C等于( 。

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