Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（3，4）的拋物線交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-5）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切，請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱軸l與⊙C有什么位置關(guān)系，并給出證明；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線解析式為：y=a（x-3）²+4，
將A（0，-5）代入求得：a=-1，
∴拋物線解析式為y=-（x-3）²+4=-x²+6x-5．

（2）拋物線的對(duì)稱軸l與⊙C相離．證明：
令y=0，即-x²+6x-5=0，得x=1或x=5，∴B（1，0），C（5，0）．
如答圖①所示，設(shè)切點(diǎn)為E，連接CE，由題意易證Rt△ABO∽R(shí)t△BCE，
∴，即，
求得⊙C的半徑CE=；
而點(diǎn)C到對(duì)稱軸x=3的距離為2，2＞，
∴拋物線的對(duì)稱軸l與⊙C相離．

（3）存在．理由如下：
有兩種情況：
（I）如答圖②所示，點(diǎn)P在x軸上方．
∵A（0，-5），C（5，0），∴△AOC為等腰直角三角形，∠OCA=45°；
∵PC⊥AC，∴∠PCO=45°．
過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，則△PCF為等腰直角三角形．
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n），則有OF=m，PF=CF=n，
OC=OF+CF=m+n=5 ①
又點(diǎn)P在拋物線上，∴n=-m²+6m-5 ②
聯(lián)立①②式，解得：m=2或m=5．
當(dāng)m=5時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，故舍去，
∴m=2，∴n=3，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）；
（II）如答圖③所示，點(diǎn)P在x軸下方．
∵A（0，-5），C（5，0），∴△AOC為等腰直角三角形，∠OAC=45°；
過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵PA⊥AC，∴∠PAF=45°，即△PAF為等腰直角三角形．
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n），則有PF=AF=m，OF=-n=OA+AF=5+m，
∴m+n=-5 ①
又點(diǎn)P在拋物線上，∴n=-m²+6m-5 ②
聯(lián)立①②式，解得：m=0或m=7．
當(dāng)m=0時(shí)，點(diǎn)F與原點(diǎn)重合，故舍去，
∴m=7，∴n=-12，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（7，-12）．
綜上所述，存在點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形．點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（7，-12）．
分析：（1）由頂點(diǎn)式，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是分析圓的半徑r和圓心到直線距離d之間的大小關(guān)系．由題意可知d=2，由相似三角形求得r=，因?yàn)?＞，所以可判定拋物線的對(duì)稱軸l與⊙C相離；
（3）本問是存在性問題．點(diǎn)P有兩種情況，分別位于x軸上方與下方，需要分類討論，注意不要漏解；在求點(diǎn)P坐標(biāo)時(shí)，需要充分利用幾何圖形（等腰直角三角形）的性質(zhì)，以及拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
點(diǎn)評(píng)：本題是代數(shù)幾何綜合題，以拋物線為載體，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形、等腰直角三角形以及直線與圓的位置關(guān)系等重要知識(shí)點(diǎn)，考查了代數(shù)計(jì)算能力、幾何空間想象能力、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等綜合運(yùn)用．第（3）問需要分類討論，避免漏解，這是本題的難點(diǎn)．