Question

如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D點，E是AC的延長線上一點，連接BE，∠BEC+2∠CBE=90°．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）若tan∠CBE=，求sin∠E的值．

Answer 1

（1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠E+∠CBE，
∴∠ABC=∠E+∠CBE，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=2∠CBE+∠BEC=90°，
∵AB為⊙O直徑，
∴BE是⊙O的切線；

（2）解：設(shè)AE于圓交于點M，連接BM，過點C作CF⊥BE于F，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠AMB=90°，
∴∠MBE+∠BEC=90°，
∵∠BEC+2∠CBE=90°，
∴∠MBE=2∠CBE，
∴∠MBC=∠FBC，
∴△MBC≌△FBC，
∵tan∠CBE=，
∴設(shè)CF=1，則BF=2，
∴BM=BF=2，CM=CF=1，
再設(shè)AM=x，
在Rt△AMB中，
AM=x，AB=AC=1+x，BM=2，
∴x²+2²=（x+1）²，
解得：x=，
∴AB=，
∵∠A+∠MBA=90°，∠A+∠E=90°，
∴∠E=∠MBA，
∴sin∠E=sin∠MBA===．
分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角和定理以及已知條件即可證明∠ABE=90°，進而證明BE是⊙O的切線；
（2）設(shè)AE于圓交于點M，連接BM，過點C作CF⊥BE于F，利用圓周角定理以及全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出AG的長，進而求出圓的直徑，sin∠E的值也可求出．
點評：本題考查了圓的切線的判定定理、三角形的外角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運用以及銳角三角函數(shù)的運用，題目的綜合性很強，難度不小，解題的關(guān)鍵是作垂線段構(gòu)造全等三角形．