Question

【題目】如圖，點O為正方形ABCD的對角線交點，將線段OE繞點O逆時針方向旋轉，點E的對應點為點F，連接EF，AE，BF．

（1）請依題意補全圖形；

（2）根據補全的圖形，猜想并證明直線AE與BF的位置關系．

Answer 1

【答案】（1）畫圖見解析；

（2）猜想：AE⊥BF.證明見解析.

【解析】（1）根據旋轉的性質畫出OF，按照題意連接各線段即可得出圖形；

（2）猜想：AE⊥BF，延長EA交OF于點H，交BF于點G，根據正方形的性質以及角的計算即可得出OA=OB，∠EOA=∠FOB，由此即可證出△EOA≌△FOB（SAS），進而得出∠OEA=∠OFB，再結合∠EOF=90°以及對頂角相等，即可得出∠OFB+∠FHG=90°，故AE⊥BF.

（1）正確畫出圖形；(畫對OF給1分)

（2）猜想：⊥.

證明：延長交于點，交于點

∵為正方形對角線的交點，

∴，∠＝90°.

∵繞點逆時針旋轉90°得到，

∴，∠＝∠＝90°.

∴∠＝∠.

∴△≌△，∴∠ ＝∠.

∵∠+∠=90°，∠=∠，

∴∠+∠=90°，

∴⊥

“點睛”本題考查了圖中的旋轉變換、正方形的性質以及全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是：（1）畫出圖形；（2）找出∠OFB+∠FHG=90°，本題屬于中檔題，難度難度，解決該題型題目時，根據全等三角形的性質找出相等的角，再通過角的計算找出直角是關鍵.