Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2，0），連結(jié)OA，將線(xiàn)段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線(xiàn)段OB.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式；

（3）在（2）中拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)C，使△BOC的周長(zhǎng)最��？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（4）如果點(diǎn)P是（2）中的拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及△PAB的最大面積；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

（1）B（1，）；

（2）；

（3）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，）時(shí)，△BOC的周長(zhǎng)最小，理由略.

（4）當(dāng)時(shí)，△PAB的面積的最大值為，理由略。

解析:（1）B（1，）

（2）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax(x+a)，代入點(diǎn)B（1,），得，

因此

（3）如圖，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=—1，當(dāng)點(diǎn)C位于對(duì)稱(chēng)軸與線(xiàn)段AB的交點(diǎn)時(shí)，△BOC的周長(zhǎng)最小.

設(shè)直線(xiàn)AB為y=kx+b.所以，

因此直線(xiàn)AB為，

當(dāng)x=－1時(shí)，，

因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，）.

（4）如圖，過(guò)P作y軸的平行線(xiàn)交AB于D.

當(dāng)x=－時(shí)，△PAB的面積的最大值為，此時(shí).