Question

如圖：在直角坐標系中放入一邊長OC為6的矩形紙片ABCO，將紙翻折后，使點B恰好落在x軸上，記為B'，折痕為CE，已知tan∠OB′C=

3

4

．
（1）求出B′點的坐標；
（2）求折痕CE所在直線的解析式；
（3）作B′G∥AB交CE于G，已知拋物線y=

1

8

x²-

14

3

通過G點，以O為圓心OG的長為半徑的圓與拋物線是否還有除G點以外的交點？若有，請找出這個交點坐標．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形COB′中，根據(jù)OC的長和∠OB′C的正切值即可求出OB′的長，也就求了B′的坐標；
（2）本題的關鍵是求出E點的坐標．在直角三角形COB′中，根據(jù)勾股定理可求出B′C的長，根據(jù)折疊的性質：B′C=BC也就得出了BC、OA的長．即可求出AB′的長，在直角三角形AB′E中，設AE=x，那么B′E=BE=OC-AE=6-x，因此可根據(jù)勾股定理求出AE的長，即可得出E點坐標，然后用待定系數(shù)法即可求出直線CE的解析式；
（3）由于圓心在y軸上，而題中給出的拋物線的對稱軸也是y軸，根據(jù)拋物線和圓的對稱性可知：G點關于y軸的對稱點必在拋物線上，因此可先根據(jù)B′的坐標和直線CE的解析式求出G點的坐標，進而可求出G′的坐標．

解答：解：（1）在Rt△B′OC中，tan∠OB'C=

OC

OB′

=

3

4

，OC=6，
∴OB′=8，
∴點B′（8，0）；

（2）由已知得：△CBE≌△CB′E，
∴BE=B′E，CB′=CB=OA，
CB′=

OB′2+OC2

=10．
設AE=n，則EB′=EB=6-n，AB′=AO-OB′=10-8=2．
∴n²+2²=（6-n）²，
得n=

8

3

．
∴E（10，

8

3

），C（0，6）．
設直線CE的解析式y(tǒng)=kx+b，
根據(jù)題意得

6=b 8 3 =10k+b

解得：

b=6 k=- 1 3

CE所在直線的解析式：y=-

1

3

x+6；

（3）設G（8，a），
∵點G在直線CE上，
∴a=-

1

3

×8+6=

10

3

．
∴G（8，

10

3

）．
∵以O點為圓心，以OG為半徑的圓的對稱軸是y軸，
拋物線y=

1

8

x²-

14

3

的對稱軸也是y軸．
∴除交點G外，另有交點H，H是G點關于y軸的對稱點．
其坐標為H（-8，

10

3

）．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、圖形翻折變換、拋物線和圓的對稱性等知識點，綜合性較強．