Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，點M是AD的中點，△MBC是等邊三角形．

（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）動點P、Q分別在線段BC和MC上運動，且∠MPQ=60°保持不變．設PC=x，MQ=y，求y與x的函數(shù)關系式；

（3）在（2）中：

①當動點P、Q運動到何處時，以點P、M和點A、B、C、D中的兩個點為頂點的四邊形是平行四邊形？并指出符合條件的平行四邊形的個數(shù)；

②當y取最小值時，判斷△PQC的形狀，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析；（2）y=﹣x+4．

（2）①當BP=1，MQ=或BP=3，符合條件的平行四邊形的個數(shù)有4個．②△PQC是直角三角形．

【解析】

試題分析：（1）要證梯形ABCD是等腰梯形，只需證△AMB≌△DMC．

（2）由△BMP∽△CQP，可得到BP與CQ的關系，從而轉化成y與x的函數(shù)關系式．

（3）先利用二次函數(shù)求最值，求出y取最小值時x的值和y的最小值，從而確定P、Q的位置，判斷出△PQC的形狀．

試題解析：

（1）證明：∵△MBC是等邊三角形，

∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°．

∵M是AD中點，

∴AM=MD．

∵AD∥BC，

∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．

∴△AMB≌△DMC．

∴AB=DC．

∴梯形ABCD是等腰梯形．

（2）在等邊△MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，

∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°．

∴∠BMP=∠QPC．

∴△BPM∽△CQP．

∴．

∵PC=x，MQ=y，

∴BP=4﹣x，QC=4﹣y．

∴．

∴y=﹣x+4．（8分）

（3）①當BP=1時，則有BPAM，BPMD，

則四邊形ABPM為平行四邊形，

∴MQ=y=×3²﹣3+4=．（8分）

當BP=3時，則有PCAM，PCMD，

則四邊形MPCD為平行四邊形，

∴MQ=y=×1²﹣1+4=．（9分）

∴當BP=1，MQ=或BP=3，MQ=時，

以P、M和A、B、C、D中的兩個點為頂點的四邊形是平行四邊形．此時平行四邊形有2個．

故符合條件的平行四邊形的個數(shù)有4個．

②△PQC為直角三角形．

∵y=（x﹣2）²+3，

∴當y取最小值時，x=PC=2．

∴P是BC的中點，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，

∴∠CPQ=30°，

∴∠PQC=90°．

∴△PQC是直角三角形．

考點：1.等腰梯形的判定；2.二次函數(shù)的最值；3.等邊三角形的性質．