Question

如圖1，點(diǎn)P是線(xiàn)段MN的中點(diǎn)．
（1）請(qǐng)你利用該圖1畫(huà)一對(duì)以點(diǎn)P為對(duì)稱(chēng)中心的全等三角形；
（2）請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：
①如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB＞AC，點(diǎn)D是BC邊中點(diǎn)，過(guò)D作射線(xiàn)交AB于E，交CA延長(zhǎng)線(xiàn)于F，請(qǐng)猜想∠F等于多少度時(shí)，BE=CF（直接寫(xiě)出結(jié)果，不必證明）；
②如圖3，在△ABC中，如果∠BAC不是直角，而（1）中的其他條件不變，若BE=CF的結(jié)論仍然成立，請(qǐng)寫(xiě)出△AEF必須滿(mǎn)足的條件，并加以證明．

Answer 1

解：（1）如圖：畫(huà)圖正確

（2）①∠F=45°時(shí)，BE=CF．
②答：若BE=CF的結(jié)論仍然成立，
則AE=AF，△AEF是等腰三角形．
證明：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使得FD=GD，連接BG．
∵點(diǎn)D是BC邊中點(diǎn)，
∴DC=DB
在△DCF和△DBG中
∴△DCF≌△DBG．
∴∠F=∠G，CF=BG
當(dāng)△AEF是等腰三角形，AE=AF時(shí)，
∠F=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠G．
∴BE=BG．
∴BE=CF．
分析：（1）以P點(diǎn)為中心，依次做兩條相互交叉但長(zhǎng)度相等的線(xiàn)段，可得兩個(gè)全等三角形；
（2）當(dāng)BE=CF時(shí)，∠F的結(jié)論成立；第2小題需要用到輔助線(xiàn)的幫助．延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使得FD=GD，連接BG，證明△DCF≌△DBG后推出∠F=∠G，CF=BG，從而證明BE=CF．
點(diǎn)評(píng)：本題涉及全等三角形，等腰梯形的相關(guān)性質(zhì)和判定，并考查學(xué)生的作圖能力，為綜合題型，難度中上．