Question

（2006•武漢）（人教版）已知：OA、OB是⊙O的半徑，且OA⊥OB，P是射線(xiàn)OA上一點(diǎn)（點(diǎn)A除外），直線(xiàn)BP交⊙O于點(diǎn)Q，過(guò)Q作⊙O的切線(xiàn)交直線(xiàn)OA于點(diǎn)E．
（1）如圖①，若點(diǎn)P在線(xiàn)段OA上，求證：∠OBP+∠AQE=45°；
（2）若點(diǎn)P在線(xiàn)段OA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，其它條件不變，∠OBP與∠AQE之間是否存在某種確定的等量關(guān)系？請(qǐng)你完成圖②，并寫(xiě)出結(jié)論（不需要證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OQ，則OQ⊥QE，根據(jù)等腰直角三角形兩底角相等可得∠OBP=∠OQB，再根據(jù)∠BQA=45°，即可推出∠AQE+∠OBP=90°-∠OQA=45°；
（2）連接OQ，可得△OBQ是等腰三角形，所以∠OBQ=∠OQB，由QE是⊙O的切線(xiàn)可得OQ⊥QE，根據(jù)圓周角定理可得∠AQB=135°，從而得到∠OQA=135°-∠OQB，然后整理即可得到∠OBP-∠AQE=45°．
解答：（1）證明：如圖①，連接OQ，
∵OB=OQ，
∴∠OBP=∠OQB，
∵OA⊥OB，
∴∠BQA=∠AOB=×90°=45°，
∵EQ是切線(xiàn)，
∴∠OQE=90°，
∴∠OBP+∠AQE=∠OQB+∠AQE=90°-∠BQA=90°-45°=45°；

（2）解：如圖②，連接OQ，
∵OB=OQ，
∴∠OBQ=∠OQB，
∵OA⊥OB，
∴∠BQA=×（360°-90°）=135°，
∴∠OQA=∠BQA-∠OQB=135°-∠OBQ，
∵EQ是切線(xiàn)，
∴∠OQE=90°，
∴135°-∠OBQ+∠AQE=90°，
整理得，∠OBQ-∠AQE=45°，
即∠OBP-∠AQE=45°．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查圓的切線(xiàn)的性質(zhì)及同圓的半徑相等等知識(shí)．此題（2）問(wèn)為探索題，培養(yǎng)同學(xué)們的類(lèi)比思想和探索問(wèn)題的能力，此種問(wèn)題一般都是繼續(xù)利用前一問(wèn)的求解思路進(jìn)行求解．