Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，，把這個直角三角形繞頂點C旋轉后得到Rt△A′B′C，其中點B′正好落在AB上，A′B′與AC相交于點D，那么=________．

Answer 1

分析：作CH⊥AB于H，先在Rt△ABC中，根據(jù)余弦的定義得到cosB==，設BC=3x，則AB=4x，再根據(jù)勾股定理計算出AC=4x，在Rt△HBC中，根據(jù)余弦的定義可計算出BH=x，接著根據(jù)旋轉的性質得CA′=CA=4x，CB′=CB，∠A′=∠A，所以根據(jù)等腰三角形的性質有B′H=BH=x，則AB′=x，然后證明△ADB′∽△A′DC，再利用相似比可計算出B′D與DC的比值．
解答：解：作CH⊥AB于H，如圖，
在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB==，設BC=3x，則AB=5x，
AC==4x，
在Rt△HBC中，cosB==，而BC=3x，
∴BH=x，
∵Rt△ABC繞頂點C旋轉后得到Rt△A′B′C，其中點B′正好落在AB上，
∴CA′=CA=4x，CB′=CB，∠A′=∠A，
∵CH⊥BB′，
∴B′H=BH=x，
∴AB′=AB-B′H-BH=x，
∵∠ADB′=∠A′DC，∠A′=∠A，
∴△ADB′∽△A′DC，
∴=，即=，
∴=．
故答案為．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了三角形相似的判定與性質以及銳角三角形函數(shù)．