Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．AB的垂直平分線DP交AC于點P，
（1）求證：△ABC∽△BPC；
（2）設m，n為一元二次方程x²+x-1=0的兩根（m＞n）．若等腰三角形的底邊與腰的比值等于m時，則稱這個等腰三角形為“黃金三角形”．求證：△BPC是“黃金三角形”．

Answer 1

（1）證明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵AB的垂直平分線DP交AC于點P，
∴PA=PB，
∴∠PBA=∠A=36°，
∴∠PBC=∠ABC-∠PBA=72°-36°=36°，
∴∠PBC=∠A，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BPC；

（2）解：∵m，n為一元二次方程x²+x-1=0的兩根（m＞n），
解方程可得：m=，n=．
∵△ABC∽△BPC，
∴，PB=BC，
設PC=x，則AC=AP+PC=BP+PC=BC+PC=BC+x，
∴，
∴BC=x，
∴AC=x，
∴==m．
∴△BPC是“黃金三角形”．
分析：（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，即可求得∠ABC的度數(shù)，又由AB的垂直平分線DP交AC于點P，求得∠ABP的度數(shù)，即可得∠PBC=∠A=36°，即可證得：△ABC∽△BPC與△PBC是等腰三角形；
（2）由m，n為一元二次方程x²+x-1=0的兩根（m＞n），即可求得m的值，又由△ABC∽△BPC，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，設PC=x，然后求得BC與AC的長，求比值即可證得△BPC是“黃金三角形”．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，線段垂直平分線的定義以及二次函數(shù)的解法等知識．此題綜合性很強，難度適中，解題的關鍵是方程思想與數(shù)形結合思想的應用．