Question

綜合題

已知二次函數(shù)y＝x²＋bx＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(－3，6)，并與x軸交于點(diǎn)B(－1，0)和點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并在直角坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象；

(2)設(shè)D為線段OC上的一點(diǎn)，滿足∠DPC＝∠BAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使以M為圓心的圓與AC、PC所在的直線及y軸都相切？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在．請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象過點(diǎn)A(－3，6)，B(－1，0)，得，解得．∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：y＝x2－x－．由解析式可求得P(l，－2)，C(3，0)．二次函數(shù)的圖象如圖 　　(2)解法一：易證：∠ACB＝∠PCD＝，又已知：∠DPC＝∠BAC，∴△DPC＝△BAC，∴＝．易求得AC＝6，PC＝2，BC＝4．∴DC＝，∴OD＝3－＝，∴D(，0)． 　　解法二：過AE⊥x軸，垂足為F．亦可證△AEB∽△PFD．∴＝．易求得AE＝6，EB＝2，PF＝2，∴FD＝，∴OD＝＋1＝，∴D(，0); 　　(3)存在．()過M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分別為H、G，設(shè)AC交y軸于S，CP的延長(zhǎng)線交y軸于T．∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的內(nèi)切圓圓心，∴MG＝MH＝OM．又∵M(jìn)C＝OM，且OM＋MC＝OC，∴OM＋OM＝3，得OM＝3－3，∴M(3－3，0)；()在x軸的負(fù)半軸上，存在一點(diǎn)M′，同理＋OC＝C，＋OC＝，得＝3＋3，∴(－3－3，0)．即在x軸上存在滿足條件的兩個(gè)點(diǎn)．說明：只寫出M、的坐標(biāo)，沒有過程的，不得分．