Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，斜邊上的高CD=h，△ABE是以AB為斜邊的等腰直角三角形，連接CE．
①以a+b，c+h，h的長(zhǎng)為邊的三角形是直角三角形．
②以，，的長(zhǎng)為邊的三角形是直角三角形．
③AC²-BC²=AD²-DB²．④CA+CB=AE．其中正確的是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ②③④
3. C.
   ①②④
4. D.
   ①②③④

Answer 1

D
分析：根據(jù)勾股定理、三角形面積公式求得a²+b²=c²、ab=ch、AE=BE=c；
①由以上數(shù)據(jù)求得（a+b）²+h²=（c+h）²，然后根據(jù)勾股定理的逆定理推得該三角形是直角三角形；
②由以上數(shù)據(jù)求得（+）²=，然后根據(jù)勾股定理的逆定理推得該三角形是直角三角形；
③在直角三角形ACD和直角三角形BCD中，利用勾股定理求得AD²與BD²的值；
④在直角三角形ABC和直角三角形AEB中利用勾股定理求得該結(jié)論．
解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，
∴a²+b²=c²；
又∵CD是斜邊AB上的高，CD=h，
∴ab=ch，即ab=ch；
∵△ABE是以AB為斜的等腰直角三角形，
∴AE=BE=c；
①∵（a+b）²+h²=c²+2ab+h²=c²+2ch+h²=（c+h）²，即（a+b）²+h²=（c+h）²，
∴以a+b，c+h，h的長(zhǎng)為邊的三角形是直角三角形．
故本選項(xiàng)正確；
②∵（+）²===，即（+）²=，
∴以，，的長(zhǎng)為邊的三角形是直角三角形；
故本選項(xiàng)正確；
③∵AC²-BC²=b²-a²，AD²-DB²=（b²-h²）-（a²-h²）=b²-a²，
即AC²-BC²=AD²-DB²．
故本選項(xiàng)正確；
④∵（CA+CB）²=（b+a）²=c²，AE=BE=c，
∴（CA+CB）²=2AE²，
∴CA+CB=AE．
故本選項(xiàng)正確；
綜上所述，正確的選項(xiàng)是①②③④；
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．