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【題目】如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD,DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F.

(1)求證:AB=AC;
(2)若AD=2 ,∠DAC=30°,求AC的長.

【答案】
(1)

證明:

∵AD平分∠BAC,DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F,

∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°,

在RT△DEB和RT△DFC中,

∴△DEB≌△DFC,

∴∠B=∠C,

∴AB=AC


(2)

解:∵AB=AC,BD=DC,

∴AD⊥BC,

在RT△ADC中,∵∠ADC=90°,AD=2 ,∠DAC=30°,

∴AC=2CD,設CD=a,則AC=2a,

∵AC2=AD2+CD2

∴4a2=a2+(2 2,

∵a>0,

∴a=2,

∴AC=2a=4.


【解析】(1)先證明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可證明.(2)先證明AD⊥BC,再在RT△ADC中,利用30°角性質設CD=a,AC=2a,根據勾股定理列出方程即可解決問題.本題考查全等三角形的判定和性質、直角三角形30°性質、勾股定理等知識,解題的關鍵是正確尋找全等三角形,記住直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半,屬于中考常考題型.

練習冊系列答案
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求證:;

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A.
B.
C.
D.

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