(2009•資陽)如圖,已知拋物線y=x2-2x+1的頂點為P,A為拋物線與y軸的交點,過A與y軸垂直的直線與拋物線的另一交點為B,與拋物線對稱軸交于點O′,過點B和P的直線l交y軸于點C,連接O′C,將△ACO′沿O′C翻折后,點A落在點D的位置.
(1)求直線l的函數(shù)解析式;
(2)求點D的坐標(biāo);
(3)拋物線上是否存在點Q,使得S△DQC=S△DPB?若存在,求出所有符合條件的點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)題意,可以求得點P,A,B,O′的坐標(biāo),因為直線l過點B,P,所以利用待定系數(shù)法即可求得;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)果可求得點C的坐標(biāo),根據(jù)折疊的知識可得:∠CDO′=∠CAO′=90°,O′C是AD的垂直平分線,連接AD,作DF⊥AB于點F,利用相似三角形與直角三角形的性質(zhì)即可求得;
(3)顯然,O′P∥AC,且O′為AB的中點,
∴點P是線段BC的中點,∴S△DPC=S△DPB
故要使S△DQC=S△DPB,只需S△DQC=S△DPC.(7分)
過P作直線m與CD平行,則直線m上的任意一點與CD構(gòu)成的三角形的面積都等于S△DPC,
故m與拋物線的交點即符合條件的Q點.
據(jù)直線m的作法,可以求得直線m的解析式為y=x-.根據(jù)題意還可求得,拋物線上存在兩點Q1(2,-1)(即點P)和Q2,),使得S△DQC=S△DPB
解答:解:(1)配方,得y=(x-2)2-1,
∴拋物線的對稱軸為直線x=2,頂點為P(2,-1).(1分)
取x=0代入y=x2-2x+1,
得y=1,
∴點A的坐標(biāo)是(0,1).
由拋物線的對稱性知,點A(0,1)與點B關(guān)于直線x=2對稱,
∴點B的坐標(biāo)是(4,1).(2分)
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b(k≠0),將B、P的坐標(biāo)代入,

解得
∴直線l的解析式為y=x-3.(3分)

(2)連接AD交O′C于點E,
∵點D由點A沿O′C翻折后得到,
∴O′C垂直平分AD.
由(1)知,點C的坐標(biāo)為(0,-3),
∴在Rt△AO′C中,O′A=2,AC=4,
∴O′C=2
據(jù)面積關(guān)系,有×O′C×AE=×O′A×CA,
∴AE=,AD=2AE=
作DF⊥AB于F,易證Rt△ADF∽Rt△CO′A,

∴AF=•AC=,DF=•O′A=,(5分)
又∵OA=1,
∴點D的縱坐標(biāo)為1-=-
∴點D的坐標(biāo)為(,-).(6分)

(3)顯然,O′P∥AC,且O′為AB的中點,
∴點P是線段BC的中點,
∴S△DPC=S△DPB
故要使S△DQC=S△DPB,只需S△DQC=S△DPC.(7分)
過P作直線m與CD平行,則直線m上的任意一點與CD構(gòu)成的三角形的面積都等于S△DPC,
故m與拋物線的交點即符合條件的Q點.
容易求得過點C(0,-3)、D(,-)的直線的解析式為y=x-3,
據(jù)直線m的作法,可以求得直線m的解析式為y=x-
x2-2x+1=x-,
解得x1=2,x2=,
代入y=x-,得y1=-1,y2=
因此,拋物線上存在兩點Q1(2,-1)(即點P)和Q2,),使得S△DQC=S△DPB.(9分)
(僅求出一個符合條件的點Q的坐標(biāo),扣1分)
點評:此題屬于中考中的壓軸題,難度較大,知識點考查的較多而且聯(lián)系密切,需要學(xué)生認(rèn)真審題.
此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù),折疊問題的綜合應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2011年廣東省深圳市第二次十校聯(lián)考中考數(shù)學(xué)模擬試卷(解析版) 題型:解答題

(2009•資陽)如圖,已知拋物線y=x2-2x+1的頂點為P,A為拋物線與y軸的交點,過A與y軸垂直的直線與拋物線的另一交點為B,與拋物線對稱軸交于點O′,過點B和P的直線l交y軸于點C,連接O′C,將△ACO′沿O′C翻折后,點A落在點D的位置.
(1)求直線l的函數(shù)解析式;
(2)求點D的坐標(biāo);
(3)拋物線上是否存在點Q,使得S△DQC=S△DPB?若存在,求出所有符合條件的點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年四川省資陽市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(2009•資陽)如圖,已知拋物線y=x2-2x+1的頂點為P,A為拋物線與y軸的交點,過A與y軸垂直的直線與拋物線的另一交點為B,與拋物線對稱軸交于點O′,過點B和P的直線l交y軸于點C,連接O′C,將△ACO′沿O′C翻折后,點A落在點D的位置.
(1)求直線l的函數(shù)解析式;
(2)求點D的坐標(biāo);
(3)拋物線上是否存在點Q,使得S△DQC=S△DPB?若存在,求出所有符合條件的點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年四川省資陽市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

(2009•資陽)如圖,已知直線AD,BC交于點E,且AE=BE,欲證明△AEC≌△BED,需增加的條件可以是    (只填一個即可).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年四川省資陽市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

(2009•資陽)如圖,已知Rt△ABC的直角邊AC=24,斜邊AB=25,一個以點P為圓心、半徑為1的圓在△ABC內(nèi)部沿順時針方向滾動,且運動過程中⊙P一直保持與△ABC的邊相切,當(dāng)點P第一次回到它的初始位置時所經(jīng)過路徑的長度是( )

A.
B.25
C.
D.56

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案