Question

已知經(jīng)過原點的拋物線y=-2x²+4x（如圖所示）與x的另一交點為A現(xiàn)將它向右平移m（m＞0）位，所得拋物線與x軸交于C、D點，與原拋物線交于點P
（1）求點P的坐標(biāo)（可用含m式子表示）；
（2）設(shè)△PCD的面積為s，求s關(guān)于m關(guān)系式；
（3）過點P作x軸的平行線交原拋物線于點E，交平移后的拋物線于點F．請問是否存在m，使以點E、O、A、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先將拋物線表示出頂點式的形式，再進行平移，左加右減，即可得出答案；
（2）求出拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，根據(jù)當(dāng)0＜m＜2，當(dāng)m=2，即點P在x軸時，當(dāng)m＞2即點P在第四象限時，分別得出即可；
（3）根據(jù)E、O、A、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則EF=OA=2由軸對稱可知PE=PF，表示出E點的坐標(biāo)，再把點E代入拋物線解析式得出即可．

解答：解：（1）原拋物線：y=-2x²+4x=-2（x-1）²+2，
則平移后的拋物線為：y=-2（x-1-m）²+2，
由題得

y=-2(x-1)2+2 y=-2(x-1-m)2+2

，
解得

x= m+2 2 y= -m2+4 2

，
∴點P的坐標(biāo)為（

m+2

2

，

-m2+4

2

）；

（2）拋物線：y=-2x²+4x=-2x（x-2）
∴拋物線與x軸的交點為O（0，0）A（2，0），
∴AO=2，
∵C、D兩點是拋物線y=-2x²+4x向右平移m（m＞0）個，
單位所得拋物線與x軸的交點∴CD=OA=2，
①當(dāng)0＜m＜2，即點P在第一象限時，如圖1，作PH⊥x軸于H．
∵P的坐標(biāo)為（

m+2

2

，

-m2+4

2

），
∴PH=

-m2+4

2

，
∴S=

1

2

CD•2•（-

1

2

m²+2）=-

1

2

m²+2，
②當(dāng)m=2，即點P在x軸時，△PCD不存在，
③當(dāng)m＞2即點P在第四象限時，如圖2，作PH⊥x軸于H．
∵P的坐標(biāo)為（

m+2

2

，

-m2+4

2

），
∴PH=|

-m2+4

2

|=

m2-4

2

，
∴S=

1

2

CD•HP=

1

2

×2×

m2-4

2

=

1

2

m²-2；

（3）如圖3，若以E、O、A、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則EF=OA=2
由軸對稱可知PE=PF，
∴PE=

1

2

OA=1，
∵P（

m+2

2

，

-m2+4

2

），
∴點E的坐標(biāo)為（

m

2

，

-m2+4

2

），
把點E代入拋物線解析式得：-2×(

m

2

)2+4×

m

2

=

-m2+4

2

，
解得：m=1．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的頂點坐標(biāo)求法以及平行四邊形的判定，題目綜合性較強，從題目問題開始逐步分析，是解決問題的關(guān)鍵．