Question

在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²-2mx+n+1的頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線上一點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，且AC=3．
（1）求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若拋物線上有一點(diǎn)D，使得直線DB經(jīng)過第一、二、四象限，且原點(diǎn)O到直線DB的距離為，求這時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求拋物線的解析式，需求出m、n的值，根據(jù)拋物線的解析式，易得頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后將x=1代入拋物線的解析式中，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可根據(jù)AC的長得到第一個關(guān)于m、n的等量關(guān)系式；由于拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，即拋物線與x軸只有一個交點(diǎn)，即根的判別式△=0，聯(lián)立兩個關(guān)于m、n的式子即可求出m、n的值，從而得到該拋物線的解析式．
（2）根據(jù)（1）的拋物線解析式可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可得到OB的長；過O作OM⊥BD于M，根據(jù)題意可知OM=，進(jìn)而可利用勾股定理求得BM的長；在△EOF中，OM⊥EF，易證得△OBM∽△FOM，根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求得OF的長，也就得到了F點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可利用待定系數(shù)法求得直線BD的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
解答：解：（1）根據(jù)題意，畫出示意圖如答圖所示，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E；

∵拋物線上一點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，且AC=3，
∴C（1，n-2m+2），
其中n-2m+2＞0，OE=1，CE=n-2m+2；
∵拋物線的頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，
∴A（m，0），
其中m＜0，OA=-m，AE=OE+OA=1-m；
由已知得，
由（1）得n=m²-1；（3）
把（3）代入（2），得（m²-2m+1）²+（m²-2m+1）-90=0，
∴（m²-2m+11）（m²-2m-8）=0，
∴m²-2m+11=0（4）或m²-2m-8=0（5）；
對方程（4），
∵△=（-2）²-4×11=-40＜0，
∴方程m²-2m+11=0沒有實(shí)數(shù)根；
由解方程（5），
得m₁=4，m₂=-2，
∵m＜0，
∴m=-2．
把m=-2代入（3），得n=3，
∴拋物線的關(guān)系式為y=x²+4x+4

（2）∵直線DB經(jīng)過第一、二、四象限；
設(shè)直線DB交x軸正半軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)O作OM⊥DB于點(diǎn)M，
∵點(diǎn)O到直線DB的距離為，
∴OM=，
∵拋物線y=x²+4x+4與y軸交于點(diǎn)B，
∴B（0，4），
∴OB=4，
∴BM=；
∵OB⊥OF，OM⊥BF，
∴△OBM∽△FOM，
∴，
∴，
∴OF=2BO=8，F(xiàn)（8，0）；
∴直線BF的關(guān)系式為y=-x+4；
∵點(diǎn)D既在拋物線上，又在直線BF上，
∴，
解得，
∵BD為直線，
∴點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
點(diǎn)評：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到勾股定理、根的判別式、二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)以及函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等重要知識，綜合性強(qiáng)，難度較大．