Question

如圖1，己知矩形ABCD中，BC=2，AB=4，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)沿BC的延長(zhǎng)線方向以每秒2個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F停止運(yùn)動(dòng)．連接EF交DC于K，連接DE，DF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求證：△DAE∽△DCF；
（2）當(dāng)DK=KF時(shí)，求t的值；
（3）如圖2，連接AC與EF相交于O，畫EH⊥AC于H．
①試探索點(diǎn)E、F在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，OH的長(zhǎng)是否發(fā)生改變，若不變，請(qǐng)求出OH的長(zhǎng)；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②當(dāng)點(diǎn)O是線段EK的三等分點(diǎn)時(shí)，直接寫出tan∠FOC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出==，∠DAE=∠DCF=90°，根據(jù)相似三角形的判定推出即可；
（2）根據(jù)相似得出∠ADE=∠CDF，求出EK=KF，證△FKC∽△FEB，得出=，求出即可；
（3）①點(diǎn)E、F在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，OH的長(zhǎng)不變，理由是：作EM∥BC，交AC于M，設(shè)∠BAC=α，則tanα=，得出AE=t，CF=2t，求出EM=t，證△MEO∽△CFO，得出==，求出MO=CM，設(shè)HM=a，則EH=2a，AH=4a，求出MH=AM，推出OH=AC，求出AC即可求出OH；②tan∠FOC的值是或，理由是：根據(jù)△FKC∽△FEB求出KC=，根據(jù)△CKO∽△AEO得出=，當(dāng)==時(shí)得出=2，求出t，即可得出AE長(zhǎng)，根據(jù)△AEH∽△ACB，求出EH，當(dāng)==時(shí)得出=，求出t，根據(jù)△AEH∽△ACB，求出EH的值，解直角三角形求出即可．
解答：解：（1）由題意，得AE=t，CF=2t．
∵矩形ABCD中，BC=AD=2，AB=CD=4，
∴==，
∵∠DAE=∠DCF=90°，
∴△DAE∽△DCF；

（2）∵△DAE∽△DCF，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠CDF+∠EDC=90°，即∠EDF=90°，
∵DK=KF，
∴∠KDF=∠KFD，
∵∠DEK+∠KFD=90°，∠EDK+∠KDF=90°，
∴∠DEK=∠EDK，
∴DK=EK，
∴EK=KF，
∵AB∥CD，
∴△FKC∽△FEB，
∴=，
t=1；

（3）①點(diǎn)E、F在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，OH的長(zhǎng)不變，
理由是：作EM∥BC，交AC于M，設(shè)∠BAC=α，則tanα=，
∵AB⊥BC，
∴ME⊥AB，
∵AB⊥AC，
∴∠HEM=α，
∵AE=t，CF=2t，
∴EM=t，
∵∠EOM=∠FOC，∠MEO=∠CFO，
∴△MEO∽△CFO，
∴==，
∴MO=OC，
∴MO=CM，
設(shè)HM=a，則EH=2a，AH=4a，
∴MH=AM，
∴OH=OM+MH=CM+AM=AC，
在Rt△ABC中，AB=4，BC=2，由勾股定理得：AC=2，
∴OH=，
即點(diǎn)E、F在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，OH的長(zhǎng)度不變，是；
②tan∠FOC的值是或，
理由是：∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴△FKC∽△FEB，
∴=，
∴=，
∴KC=，
∵AB∥CD，
∴△CKO∽△AEO，
∴=，
當(dāng)==時(shí)，
=2，
t=0（舍去），t=，
∵EH⊥AC，
∴∠EHA=∠ABC=90°，
∵∠EAH=∠BAC，
∴△AEH∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴EH=，
∴tan∠FOC=tan∠EOH===；
當(dāng)==時(shí)，
=，
t=0（舍去），t=，
∵EH⊥AC，
∴∠EHA=∠ABC=90°，
∵∠EAH=∠BAC，
∴△AEH∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴EH=，
∴tan∠FOC=tan∠EOH===．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，矩形性質(zhì)和判定，直接直角三角形的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較好，但是難度偏大．