Question

（1）已知：如圖1，△ABC為正三角形，點M為BC邊上任意一點，點N為CA邊上任意一點，且BM=CN，BN與AM相交于Q點，試求∠BQM的度數．
（2）如果將（1）中的正三角形改為正方形ABCD（如圖2），點M為BC上任意一點，點N為CD邊上任意一點，且BM=CN，BN與AM相交于Q點，那么∠BQM等于多少度呢？說明理由．

（3）如果將（1）中的“正三角形”改為正五邊形…正n邊形（如圖3），其余條件都不變，請你根據（1）、（2）的求解思路，將你推斷的結論填入下表：（注：正多邊形的各個角都相等）

正多邊形	正五邊形	…	正n邊形
∠BQM的度數		…

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正三角形的性質得出∠ABC=∠C=60°，AB=BC，再根據BM=CN，證出△ABM≌△BCN，得出∠BAM=∠CBN，再根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩內角之和，即可得出∠BQM的值．
（2）根據正方形的性質得出∠ABC=∠C=90°，AB=BC，同（1）得出∠BQM的值．
（3）根據正五邊形以及多邊形的性質證出∠ABC=∠C的度數，再同（1）證出△ABM≌△BCN，得出∠BAM=∠CBN，即可求出∠BQM的值．
解答：解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，
∵，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠CBQ+∠ABQ=∠ABC=60°
∴∠BQM=60°．

（2）∵ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，
∵，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BQM=∠ABN+∠BAM，
∴∠BQM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=90°

（3）∵ABCDE是正五邊形，
∴∠ABC=∠C=108°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，
∵，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BQM=∠ABN+∠BAM，
∴∠BQM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=108°，
同理可證：當圖形是正n邊形時，∠BQM的度數是：；

正多邊形	正五邊形	…	正n邊形
∠BQM的度數	108°	…

點評：本題重點考查了三角形全等的判定定理，用到的知識點是全等三角形的判定，等邊三角形的性質，三角形的內角和外角的關系．解題的關鍵是證出△ABM≌△BCN，是一道基礎題．