已知:矩形ABCD中,AB=5,BC=12,點(diǎn)E在對(duì)角線AC上,且CE=6,動(dòng)點(diǎn)P在矩形ABCD的四邊上運(yùn)動(dòng)一周,則以P、E、C為頂點(diǎn)的等腰三角形有( 。﹤(gè).
分析:根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分為四種情況:P在BC上,P在CD上,P在AD上,P在AB上,在每種情況又分為三種情況①CE=PE,②PE=PC,③CE=CP,①CE=PE,分別求出對(duì)應(yīng)的值,和CD、AD、AB比較即可.
解答:解:(1)P在BC上:①CP=CE=6<12,此時(shí)有一點(diǎn)P;
②CE=PE=6時(shí),
過E作EN⊥BC于N,
cos∠ACB=
12
13
=
CN
CE
,
CN=
72
13

CP=2CN=
144
13
<12,此時(shí)有1點(diǎn)P;
③CP=EP時(shí),
P在CE的垂直平分線MN(M為垂足)上,CM=EM=3,
cos∠ACB=
12
13
=
CM
CP
,
CP=
39
12
<12,存在一點(diǎn)P;
(2)P在CD上:①PE=PC,
此時(shí)P在CE的垂直平分線MN(M為垂足)上,
CM=EM=3,
cos∠ACD=
5
13
=
CM
CP

CP=
39
5
>5,
即P在CD的延長(zhǎng)線上,此時(shí)不存在P點(diǎn);
②CE=CP=6>CD,此時(shí)不存在P點(diǎn);
③EP=CE=6,
過E作EN⊥CD于N,
cos∠ACD=
5
13
=
CN
CE
,
CN=
30
13

CP=2CN=
60
13
<CD,即此時(shí)存在一點(diǎn)P;
(3)P在AD上:①PE=CP,
過P作PM⊥AC于M,CM=EM=3,AM=13-3=10,
cos∠DAC=
12
13
=
AM
AP
,
AP=
130
12
<12,即此時(shí)存在一點(diǎn)P;
②CE=PC,
PD=
62-52
=
11
<12,此時(shí)存在一點(diǎn)P;
③PE=CE=6,
sin∠DAC=
5
13
=
EM
AE
,
EM=
35
13
,
AM=
72-(
35
13
)
2
=
42
13
,PM=
62-(
35
13
)
2
=
4429
13
,
AP=
42
13
-
4429
13
,AP′=
42
13
+
4429
13
,即存在2點(diǎn)P;

(4)P在AB上:①CP=PE,即P在CE的垂直平分線MN(M為垂足)上,
cos∠ACB=
12
13
=
CM
CP
,
CP=
39
12
<12,即CP小于C到AB的最短距離,即此時(shí)不存在P點(diǎn);
②CE=CP=6<12,
∵C到AB的最短距離是12,
∴此時(shí)不存在P點(diǎn);
③CE=PE=6,AE=13-6=7,
過E作EM⊥AB于M,
sin∠BAC=
12
13
=
EM
AE

EM=
84
13
>PE,
即E到AB的最短距離大于PE,
即此時(shí)不存在P點(diǎn);
綜合上述:共有(1+1+1)+1+(1+1+2)+0=8.
故選D.
點(diǎn)評(píng):本題考查了對(duì)等腰三角形的判定和矩形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用,關(guān)鍵是通過作圖求出符合條件的所有情況,題目比較好,但是一道比較容易出錯(cuò)的題目.
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已知:矩形ABCD中,AB=1,點(diǎn)M在對(duì)角線AC上,直線l過點(diǎn)M且與AC垂直,與AD相交于點(diǎn)E.
(1)如果直線l與邊BC相交于點(diǎn)H(如圖1)AM=
1
3
AC且AD=a,求的AE長(zhǎng)(用含a的代數(shù)式表示);
(2)在(1)中,直線l把矩形分成兩部分的面積比為2:5,求a的值;
(3)若AM=
1
4
AC,且直線l經(jīng)過點(diǎn)B(如圖2),求AD的長(zhǎng);
(4)如果直線l分別與邊AD,AB相交于點(diǎn)E,F(xiàn),AM=
1
4
AC,設(shè)AD的長(zhǎng)為x,△AEF的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并指出x的取值范圍(求x的取值范圍可不寫過程).精英家教網(wǎng)

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12
.求:
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