Question

【題目】已知，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）如圖1，分別求的值；

（2）如圖2，點(diǎn)為第一象限的拋物線上一點(diǎn)，連接并延長交拋物線于點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)為第一象限的拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接、，點(diǎn)為第二象限的拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，連接，設(shè)，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，點(diǎn)為第三象限的拋物線上一點(diǎn)，分別連接，滿足，，過點(diǎn)作的平行線，交軸于點(diǎn)，求直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）．

【解析】

（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；
（2）作軸于K，軸于L，OD=3OE，則OL=3OK，DL=3KE，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為t，則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-3t，則點(diǎn)E、D的坐標(biāo)分別為：（t，）、（-3t，-+3t+），即可求解；

（3）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可得PH=m2+m-，過作EF∥y軸交于點(diǎn)交軸于點(diǎn)，TE=PH+YE=m2+m-+2=（m+1）2，tan∠AHE=，tan∠PET=，而∠AHE+∠EPH=2α，故∠AHE=∠PET=∠EPH=α，PH=PQtanα，即m2+m-=（2m+2）×，解得：m=2-1，故YH=m+1=2，PQ=4，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為：（2-1，4）、（-2-1，4），tan∠YHE=，tan∠PQH=；證明△PMH≌△WNH，則PH=WH，而QH=2PH，故QW=HW，即W是QH的中點(diǎn)，則W（-1，2），再根據(jù)待定系數(shù)法即可求解．

解：（1）把、分別代入得：

，解得；

（2）如圖2，由（1）得，作軸于K，軸于L，

∴EK∥DL，∴．

∵，∴，

設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，，

∴的橫坐標(biāo)為，分別把和代入拋物線解析式得，

∴，

∴，．

∵，

∴，∴，

∴，

∴，

解得（舍），，

∴．

（3）如圖3，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，把代入拋物線得，

∴．

過作EF∥y軸交于點(diǎn)交軸于點(diǎn)，∴軸．

∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴PQ∥x軸，，

∴，點(diǎn)坐標(biāo)為，

又∵軸，∴ET∥PH，∴，

∴，∴四邊形為矩形，

∴，∴，

∴，，，

∴．

∴，，

∴，∴．

又∵，∴．

∵，

∴解得，

∵，∴．

∴，，

把代入拋物線得，∴，∴，

∴，∴，∴，

∴，∴．

若交于點(diǎn)，

∵NF∥PE，∴，∴，

∵，∴，

∴，，，

∴，∴，∴．

作WS∥PQ，交于點(diǎn)交軸于點(diǎn)，

∴△WSH∽△QPH，∴．

∵∴，

∴，，

∴．

∵，∴，∴．

設(shè)的解析式為，把、代入得，

解得，∴．

∵FN∥PE，∴設(shè)的解析式為，把代入得，

∴的解析式為．