已知M、N分別在正方形ABCD的邊DA、AB上，且AM=AN，過(guò)A作BM的垂線，垂足為P，求證：∠APN=∠BNC．

證明：延長(zhǎng)AP交DC于E，連接NE，
∵AP⊥BM，
∴∠APB=∠BPE=∠APM=90°，
∵正方形ABCD，
∴AB∥CD，AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠BPE+∠BCD=180°，
∴P、B、C、E四點(diǎn)共圓，
而∠PAM+∠AMP=90°，∠AMP+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠PAM=∠EAD，
∴△ABM≌△DAE，
∴DE=AM=AN，
∴CE=BN，
∴四邊形NBCE是矩形，
∴N、B、C、E四點(diǎn)共圓，
即N、B、C、E、P五點(diǎn)共圓，
∴∠NPB=∠NCB，
∵∠APN+∠BPN=90°，∠BCN+∠BNC=90°，
∴∠APN=∠BNC．
分析：延長(zhǎng)AP交DC于E，連接NE，由∠BPE+∠BCD=180°，證出P、B、C、E四點(diǎn)共圓，由△ABM和△DAE全等，推出CE=BN，得出矩形BNEC，證出N、B、C、E四點(diǎn)共圓，即N、B、C、E、P五點(diǎn)共圓，即可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，確定圓的條件等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是證明∠NPB和∠NCB相等．題目較好但有一定的難度．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，動(dòng)點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)B也從原點(diǎn)出發(fā)向數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，3秒后，兩點(diǎn)相距15個(gè)單位長(zhǎng)度．已知?jiǎng)狱c(diǎn)A、B的速度比是1：4 （速度單位：1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒）．
（1）求兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度，并在數(shù)軸上標(biāo)出A、B兩點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)的位置；
（2）若A、B兩點(diǎn)分別從（1）中標(biāo)出的位置同時(shí)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒種，原點(diǎn)恰好處在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的正中間？
精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，已知直線l的解析式為y=-
34
x+6，并且與x軸、y精英家教網(wǎng)軸分別交于點(diǎn)A、B．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）一個(gè)半徑為1的動(dòng)圓⊙P （起始時(shí)圓心P在原點(diǎn)O處），以4個(gè)單位/秒的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間與直線l相切．
（3）若在圓開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，一動(dòng)點(diǎn)Q從B出發(fā)，沿BA方向以5個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間直線PQ經(jīng)過(guò)△AOB的重心M？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•鄂州）已知：如圖一，拋物線y=ax2+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=x-2經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，且AB=2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線DE平行于x軸并從C點(diǎn)開(kāi)始以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點(diǎn)E，D，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BO方向以每秒2個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)，（如圖2）；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O時(shí)，直線DE與點(diǎn)P都停止運(yùn)動(dòng)，連DP，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒；設(shè)s=
ED+OPED•OP
，當(dāng)t為何值時(shí)，s有最小值，并求出最小值．
（3）在（2）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•槐蔭區(qū)三模）如圖，已知直線l的解析式為y=-x+6，直線l與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，平行于直線l的直線n從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持n∥l，當(dāng)直線n與直線l重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)結(jié)束．直線n與x軸，y軸分別相交于C、D兩點(diǎn)，以線段CD的中點(diǎn)P為圓心、CD為直徑，在CD上方作半圓，半圓面積為S．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，半圓與直線l相切？
（3）直線n在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，
①求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
②是否存在這樣的t值，使得半圓面積S=
π4
S梯形ABCD？若存在，求出t值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•鄂州）在平面直角坐標(biāo)系中，已知M1（3，2），N1（5，-1），線段M1N1平移至線段MN處（注：M1與M，N1與N分別為對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．
（1）若M（-2，5），請(qǐng)直接寫出N點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）在（1）問(wèn)的條件下，點(diǎn)N在拋物線y=
1
6
x2+
2
3
3
x+k上，求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．
（3）在（2）問(wèn)條件下，若拋物線頂點(diǎn)為B，與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)C（0，m）是y軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，線段EC與線段BO相交于F，且OC：OF=2：
3
，求m的值．
（4）在（3）問(wèn)條件下，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)（即BP長(zhǎng)為多少），將△ABP沿邊PE折疊，△APE與△PBE重疊部分的面積恰好為此時(shí)的△ABP面積的
1
4
，求此時(shí)BP的長(zhǎng)度．

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