【題目】已知:△DEC的一個頂點D在△ABC內(nèi)部,且∠CAD+∠CBD=90°.

(1)如圖1,若△ABC與△DEC均為等腰直角三角形,且∠ABC=∠DEC=90°,連接BE,求證:△ADC∽△BEC.

(2)如圖2,若∠ABC=∠DEC=90°,=n,BD=1,AD=2,CD=3,求n的值;

(3)如圖3,若AB=BC,DE=EC,且∠ABC=∠DEC=135°,BD=a,AD=b,CD=c,請直接寫出a、b、c三者滿足的等量關(guān)系.

【答案】(1)證明見解析;(2)n= ;(3)c2﹣b2=(2+)a2,理由見解析.

【解析】試題分析:(1)先判斷出△ABC∽△DEC,得出,即可得出結(jié)論;

(2)先求出AC=BC,同理:CD=EC,再判斷出△ABC∽△DEC,得出比例式,繼而判斷出△ACD∽△BCE,即可得出AD=BE,BE=,再利用勾股定理得出DE2=再判斷出∠DBE=90°,再用勾股定理得出DE的平方,用DE的平方建立方程求解即可;

(3)同(2)的方法,再構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理即可得出結(jié)論.

試題解析:(1)∵△ABC與△DEC均為等腰直角三角形,且∠ABC=∠DEC=90°,

∴△ABC∽△DEC,

,∠ACB=∠DCE,

∴∠ACD=∠BCE,

,

∴△ACD∽△BCE;

(2)在Rt△ABC中,AC= =BC,

同理:CD=EC,

∵∠ABC=∠DEC=90°,

∴△ABC∽△DEC,

,∠ACB=∠DCE,

∴∠ACD=∠BCE,

∴△ACD∽△BCE,

=

∴AD=BE,

∵AD=2,

∴BE=,

在Rt△CDE中,CD2=DE2+CE2=(n2+1)CE2=9,

∴CE2=

∴DE2=n2CE2=n2×=,

∵△ACD∽△BCE,

∴∠CAD=∠CBE,∵∠CAD+∠CBD=90°,

∴∠DBE=∠CBE+∠CBE=90°,

在Rt△BDE中,DE2=BD2+BE2=1+,

=1+

∴n=﹣ (舍)或n= ;

(3)c2﹣b2=(2+)a2

理由:如圖,∵AB=BC,DE=EC,

∵∠ABC=∠DEC,

∴△ABC∽△DEC,

,

∵AB=BC,DE=EC,且∠ABC=∠DEC=135°,

∴∠ACB=∠DCE=22.5°,

∴∠ACD=∠BCE,

,

∴△ACD∽△BCE,

,

,

過點D作DF⊥CE交CE的延長線于F,

∵∠DEC=135°,

∴∠DEF=45°,

設(shè)DF=x,

∴EF=x,DE=x,

∵EC=DE=x,

∴CF=EF+EC=(+1)x,

在Rt△CDF中,CF2+DF2=CD2,

∴[(+1)x]2+x2=c2

∴x2=,

∴DE2=2x2=

∴BE2==×=,

∵△ACD∽△BCE,

∴∠CAD=∠CBE,

∵∠CAD+∠CBD=90°,

∴∠DBE=∠CBE+∠CBE=90°,

在Rt△BDE中,DE2=BD2+BE2,

=a2+,

∴c2﹣b2=(2+)a2

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