Question

如圖，已知矩形ABCD中，AB=10，AD=4，點(diǎn)E為CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE、BE，以AE為直徑作圓，交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BE于H，直線FH交⊙O于點(diǎn)G．
（1）求證：⊙O必經(jīng)過(guò)點(diǎn)D；
（2）若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到CD的中點(diǎn)，試證明：此時(shí)FH為⊙O的切線；
（3）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到某處時(shí)，AE∥FH，求此時(shí)GF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出；
（2）首先根據(jù)矩形的判定得出四邊形AFED為矩形，進(jìn)而得出OF為△ABE的中位線，則OF∥EB，利用FH⊥EB，得出OF⊥FH，即可得出答案；
（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出ADE∽△ECB，由相似得：DE=2或8，進(jìn)而分類(lèi)討論得出即可．

解答：證明：（1）如圖1，
∵矩形ABCD中，∠ADC=90°，且O為AE中點(diǎn)，
∴OD=

1

2

AE，
∴點(diǎn)D在⊙O上．

（2）證明：如圖1，連接OF、EF，
∵AE為⊙O的直徑，
∴∠AFE=90°，
∵∠D=∠DAF=90°，
∴四邊形AFED為矩形，
∴AF=DE．
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴F為AB的中點(diǎn)．
∴OF為△ABE的中位線，
∴OF∥EB．
∵FH⊥EB，
∴OF⊥FH，
又∵OF是⊙O的半徑，
∴FH為⊙O的切線．

（3）作OM⊥FG，連接OF，
∵AE∥FH，
∴∠AEB=90°，
易證△ADE∽△ECB，
由相似得：DE=2或8．，
①當(dāng)DE=2時(shí)，
如圖2，AF=2，F(xiàn)B=8，EB=4

5

，AE=2

5

，
由△BFH∽△BAE得，
則

HB

BE

=

BF

AB

，
故

HB

4 5

=

8

10

，
解得：HB=

16 5

5

，則OM=EH=BE-HB=

4 5

5

，
FM=

FO2-MO2

=

3 5

5

，
故FG=2FM=

6 5

5

，
②當(dāng)DE=8時(shí)，如圖3，同上解法，

可得OG=

1

2

AE=2

5

，OM=EH=

8 5

5

，
故FG=2GM=

12 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于圓的綜合題目，涉及了切線的判定、中位線的性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握各部分的知識(shí)，融會(huì)貫通．