Question

在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三點.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）以O(shè)A的中點M為圓心，OM長為半徑作⊙M，在（1）中的拋物線上是否存在這樣的點P，過點P作⊙M的切線l ，且l與x軸的夾角為30°，若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.（注意：本題中的結(jié)果可保留根號）

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：

 由題意得：  

解得：

∴拋物線的解析式為：

 

（2）存在                                         

（2）拋物線的頂點坐標是，作拋物線和⊙M（如圖），

設(shè)滿足條件的切線 l 與 x 軸交于點B，與⊙M相切于點C

連接MC，過C作CD⊥ x 軸于D

∵ MC = OM = 2,  ∠CBM = 30°,  CM⊥BC

∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = 2CM = 4 ,   ∴B (-2, 0)                  

   在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30°

∴DM = 1,   CD = =         ∴   C (1, )

設(shè)切線 l 的解析式為:，點B、C在 l 上，可得：

         解得： 

∴切線BC的解析式為：

∵點P為拋物線與切線的交點

由         解得：         

∴點P的坐標為：，     ………………4分

∵ 拋物線的對稱軸是直線

此拋物線、⊙M都與直線成軸對稱圖形

于是作切線 l 關(guān)于直線的對稱直線 l′(如圖)

得到B、C關(guān)于直線的對稱點B₁、C₁

l′滿足題中要求，由對稱性，得到P₁、P₂關(guān)于直線的對稱點：

 ，即為所求的點. …