【題目】如圖, ,且,直線經(jīng)過點.設，于點,將射線繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn),與直線交于點.

(1)當時, ；

(2)求證: ；

(3)若的外心在其內(nèi)部,直接寫出的取值范圍.

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）利用四邊形內(nèi)角和等于360度得：∠B+∠ADC=180°，而∠ADC+∠EDC=180°，即可求解；

（2）證明△ABC≌△EDC（AAS）即可求解；

（3）當∠ABC=α=90°時，△ABC的外心在其直角邊上，∠ABC=α＞90°時，△ABC的外心在其外部，即可求解．

解：（1）在四邊形BADC中，∠B+∠ADC=360°-∠BAD-∠DCB=180°，

而∠ADC+∠EDC=180°，

∴∠ABC=∠PDC=α=125°，

故答案為125；

（2）如圖，

∵，又繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到射線，

∴，又，

即，

在四邊形中，

∵

∴

又∵

∴

在和中，

，

∴

∴

（3）當∠ABC=α=90°時，△ABC的外心在其直角邊上，

∠ABC=α＞90°時，△ABC的外心在其外部，

而45°＜α＜135°，

故：45°＜α＜90°．

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了豐富校園文化，某校決定舉行學生趣味運動會，將比賽項目確定為袋鼠跳，夾球跑，跳大繩，綁腿跑和拔河賽5項，為了解學生對這5項運動的喜歡情況，隨機調(diào)查了該校部分學生最喜歡的一種項目（每名學生必選且只能選擇5項中的一種），并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖表：

根據(jù)圖表中提供的信息解答下列問題：

（1）求a，b的值．

（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整．

（3）根據(jù)調(diào)查結(jié)果，請你估計該校2500名學生中有多少名學生最喜歡綁腿跑．

學生最喜歡的活動項目的人數(shù)統(tǒng)計表

項目

學生數(shù)（名）

百分比（%）

袋鼠跳

45

15

夾球跑

a

10

跳大繩

75

25

綁腿跑

b

20

拔河賽

90

30

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】問題情境：

在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學活動.如圖1，將矩形紙片沿對角線剪開，得到和.并且量得，.

操作發(fā)現(xiàn)：

（1）將圖1中的以點為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使，得到如圖2所示的，過點作的平行線，與的延長線交于點，則四邊形的形狀是________.

（2）創(chuàng)新小組將圖1中的以點為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使、、三點在同一條直線上，得到如圖3所示的，連接，取的中點，連接并延長至點，使，連接、，得到四邊形，發(fā)現(xiàn)它是正方形，請你證明這個結(jié)論.

實踐探究：

（3）縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎上，進行如下操作：將沿著方向平移，使點與點重合，此時點平移至點，與相交于點，如圖4所示，連接，試求的值.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】學校為了提高學生跳遠科目的成績,對全校500名九年級學生開展了為期一個月的跳遠科目強化訓練。王老師為了了解學生的訓練情況,強化訓練前,隨機抽取了該年級部分學生進行跳遠測試,經(jīng)過一個月的強化訓練后,再次測得這部分學生的跳遠成績,將兩次測得的成績制作成圖所示的統(tǒng)計圖和不完整的統(tǒng)計表(滿分10分,得分均為整數(shù)).

根據(jù)以上信息回答下列問題:

(1)訓練后學生成績統(tǒng)計表中,并補充完成下表:

(2)若跳遠成績9分及以上為優(yōu)秀,估計該校九年級學生訓練后比訓練前達到優(yōu)秀的人數(shù)增加了多少?

(3)經(jīng)調(diào)查,經(jīng)過訓練后得到9分的五名同學中,有三名男生和兩名女生,王老師要從這五名同學中隨機抽取兩名同學寫出訓練報告,請用列表或畫樹狀圖的方法,求所抽取的兩名同學恰好是一男一女的概率.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工程隊承接了60萬平方米的綠化工程,由于情況有變,……設原計劃每天綠化的面積為萬平方米,列方程為,根據(jù)方程可知省略的部分是（ ）

A. 實際工作時每天的工作效率比原計劃提高了結(jié)果提前30天完成了這一任務

B. 實際工作時每天的工作效率比原計劃提高了，結(jié)果延誤30天完成了這一任務

C. 實際工作時每天的工作效率比原計劃降低了，結(jié)果延誤30天完成了這一任務

D. 實際工作時每天的工作效率比原計劃降低了，結(jié)果提前30天完成了這一任務

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于某一函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)p，當其自變量為p時，其函數(shù)值等于p，則稱p為這個函數(shù)的不變值，在函數(shù)存在不變值時，該函數(shù)的最大不變值與最小不變值之差q稱為這個函數(shù)的不變長度．特別地，當函數(shù)只有一個不變值時，其不變長度q為零．

(1)判斷函數(shù)y=有沒有不變值？如果有，直接寫出其不變長度．

(2)函數(shù)y=3x2-bx．

①若其不變長度為零，求b的值；

②若2≤b≤5，求其不變長度q的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，（1）正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共頂點A,∠EAF＝90°, 連接BE、DF.將Rt△AEF繞點A旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中，BE、DF具有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？結(jié)合圖(1)給予證明；

(2)將（1）中的正方形ABCD變?yōu)榫匦?/span>ABCD，等腰Rt△AEF變?yōu)?/span>Rt△AEF，且AD＝kAB,AF＝kAE,其他條件不變.(1)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？結(jié)合圖(2)說明理由；

(3)將（2）中的矩形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅?/span>ABCD，將Rt△AEF變?yōu)?/span>△AEF，且∠BAD＝∠EAF＝，其他條件不變.(2)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？結(jié)合圖(3)，如果不變，直接寫出結(jié)論；如果變化，直接用k表示出線段BE、DF的數(shù)量關系，用表示出直線BE、DF形成的銳角.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交⊙O于點F，且BC是⊙O的切線．

（1）求證：CE=CB；

（2）連接AF，BF，求∠ABF的正弦值；

（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半徑．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】綜合與實踐

旋轉(zhuǎn)是圖形變化的方法之一，借助旋轉(zhuǎn)知識可以解決線段長、角的大小、取值范圍、判斷三角形形狀等問題，在實際生活中也有著十分重要的地位和作用.

問題背景

一塊等邊三角形建筑材料內(nèi)一點到三角形三個頂點的距離滿足一定條件時，我們可以用所學的知識幫助工人師傅在沒有刻度尺的情況下求出等邊三角形的邊長.

數(shù)學建模

如圖，等邊三角形內(nèi)有一點，已知，，.

問題解決

（1）如圖，將△ABP繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBP′，連接，易證∠BP′P=__°，△____為等邊三角形，____，___°.

（2）點H為直線BP′上的一個動點，則的最小值為______；

（3）求長；

拓展延伸

己知：點在正方形內(nèi)，點在平面內(nèi)，，.

（4）在圖中，連接PA、PC、PQ、QC，，若點、、在一條直線上，則____.

（5）若，連接，則____________；連接，當、、三點在同一條直線上時，△BDQ的面積為______.

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